(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求めよ。 (2) $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$ ($x \neq 1$) を証明せよ。 (3) $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。 (4) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。 (5) $\frac{x^k}{1-x} = x^k + x^{k+1} + x^{k+2} + \dots = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、一つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

(2) $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$ ($x \neq 1$) を証明せよ。

(3) $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。

(4) $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。

(5) $\frac{x^k}{1-x} = x^k + x^{k+1} + x^{k+2} + \dots = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$) を証明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算してみましょう。

$f(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$

$f'(x) = (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2}$

$f''(x) = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3}$

$f'''(x) = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 6(1-x)^{-4}$

これらの結果から、$f^{(n)}(x)$ は

$f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

と推測できます。

これを数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{1!}{(1-x)^2}$ となり成立します。

$n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$ が成立すると仮定します。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{k!}{(1-x)^{k+1}} = k!(-(k+1))(1-x)^{-(k+2)}(-1) = (k+1)!\frac{1}{(1-x)^{k+2}}$

よって、$n=k+1$ のときも成立します。したがって、$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ が証明されました。

次に、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{(1-0)^{n+1}} = \frac{n!}{1} = n!$

(2)

等比数列の和の公式を利用します。

$1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$

したがって、

$1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x} = \frac{1-x^n}{1-x} + \frac{x^n}{1-x} = \frac{1-x^n+x^n}{1-x} = \frac{1}{1-x}$

(3)

(2)の結果から、$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$

ここで、$|x| < 1$ のとき、$n \to \infty$ で $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ となるので、$\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{1-x} = 0$

したがって、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

(4)

$\frac{1}{1+x}$ は $\frac{1}{1-x}$ の $x$ を $-x$ で置き換えたものなので、(3)の結果から、

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

(5)

(3)の結果から、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

両辺に $x^k$ をかけると、

$\frac{x^k}{1-x} = x^k \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+k} = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$

3. 最終的な答え

(1)

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$f^{(n)}(0) = n!$

(2)

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1-x}$ ($x \neq 1$)

(3)

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$)

(4)

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ ($|x| < 1$)

(5)

$\frac{x^k}{1-x} = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ ($|x| < 1$)