$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos \alpha = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

半角の公式を利用します。半角の公式は、

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$

で与えられます。

この公式に $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ を代入します。

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

一般的に$\alpha$の範囲が指定されていないので正負の場合が考えられますが、特に範囲の指定がない場合は$\alpha$は鋭角であるとして計算することが多いです。もし$\alpha$が鋭角であれば、$\frac{\alpha}{2}$も鋭角となり、$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$となります。

今回は範囲の指定がないため、正の場合のみを考えます。

$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$