半径1の円に内接する二等辺三角形について、以下の問いに答えます。 (1) 三角形の面積 $S$ を頂角 $\theta$ の式で表す。 (2) $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する二等辺三角形について、以下の問いに答えます。

(1) 三角形の面積 $S$ を頂角 $\theta$ の式で表す。

(2) $S$ が最大となるときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂角を $\theta$ とし、二等辺三角形の等しい辺の長さを $a$ とします。また、底辺を $b$ とします。

正弦定理より、$\frac{b}{\sin \theta} = 2 \times 1 = 2$ なので、$b = 2\sin\theta$です。

次に、二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺を二等分します。この垂線の長さを $h$ とすると、$\sin(\frac{\pi - \theta}{2}) = \frac{b/2}{a}$なので、$a = \frac{b}{2 \sin(\frac{\pi - \theta}{2})}= \frac{2 \sin \theta}{2 \cos(\theta/2)} = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)}$ となります。

また、$h = a \cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)} \cos(\frac{\theta}{2}) = \sin \theta$　です。

よって、三角形の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} (2\sin\theta)(\sin \theta) = \sin^2\theta$です。

$S = \frac{1}{2} \times 2 \sin\theta \times \sin \theta = \sin^2 \theta$

しかし、この解法は少し複雑なので、別の方法を使います。

円の中心を $O$、二等辺三角形の頂点を $A$、底辺の両端を $B, C$ とします。$\angle BAC = \theta$ なので、$\angle BOC = 2\theta$です。

また、$OB = OC = 1$ ですから、三角形 $OBC$ の面積は $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin(2\theta) = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$ です。

同様に、三角形 $OAB$ と三角形 $OAC$ は合同で、$\angle BOA = \angle COA = \pi - \theta$ ですから、それぞれの面積は $\frac{1}{2} \sin(\pi - \theta) = \frac{1}{2} \sin \theta$ です。

したがって、三角形 $ABC$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2}\sin(2\theta) + \sin \theta = \frac{1}{2}(2 \sin\theta \cos\theta) + \sin\theta = \sin\theta \cos\theta + \sin\theta = \sin\theta (1 + \cos\theta)$となります。

(2) $S = \sin\theta (1 + \cos\theta)$ を $\theta$ で微分すると、

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta (1 + \cos\theta) + \sin\theta (-\sin\theta) = \cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos\theta + \cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$

$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となるのは、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = -1$ のときです。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$\cos\theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$ ですが、これは三角形にならないので不適です。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$S = \sin(\frac{\pi}{3})(1 + \cos(\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\theta$ が 0 に近いとき、$S$ は 0 に近い値を取り、$\theta$ が $\pi$ に近いときも、$S$ は 0 に近い値を取ります。

したがって、$S$ が最大となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $S = \sin\theta(1 + \cos\theta)$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$