## 問題1 (1)

## 問題1 (1)

円の中に点Pがあり、点Pを通る2つの弦ACとBDがあります。AP = 2, PC = 3, BP = x, PD = 6のとき、xの値を求めます。

## 解き方の手順

円の内部の点Pを通る2つの弦ABとCDについて、以下の関係が成り立ちます。

$AP \cdot PC = BP \cdot PD$

この問題では、AP = 2, PC = 3, BP = x, PD = 6なので、

$2 \cdot 3 = x \cdot 6$

$6 = 6x$

$x = 1$

## 最終的な答え

$x = 1$

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## 問題1 (2)

円の中に弦AB, CDがあります。点Pは弦AB上にあり、線分CP, DPが引かれています。AP=12, BP=x, CP=15, DP=18 のとき、xの値を求めます。

## 解き方の手順

円の内部の点Pを通る2つの弦ABとCDについて、以下の関係が成り立ちます。

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

この問題では、AP = 12, BP = x, CP = 15, DP = 18 なので、

$12 \cdot x = 15 \cdot 18$

$12x = 270$

$x = \frac{270}{12} = \frac{45}{2} = 22.5$

## 最終的な答え

$x = 22.5$

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## 問題2

半径9cmの円Oにおいて、中心Oからの距離が6cmである弦ABの長さを求めます。

## 解き方の手順

中心Oから弦ABに垂線を下ろし、その交点をMとします。OMは弦ABを二等分します。

三角形OMAは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$OA^2 = OM^2 + AM^2$ が成り立ちます。

$OA = 9, OM = 6$ なので、$9^2 = 6^2 + AM^2$

$81 = 36 + AM^2$

$AM^2 = 45$

$AM = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

弦ABの長さはAMの2倍なので、$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

## 最終的な答え

$6\sqrt{5}$ cm

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## 問題3

直線ABは円Oの接線で、Bはその接点です。線分ABの長さが10cm, 線分AOの長さが13cmであるとき、円Oの半径を求めます。

## 解き方の手順

接線と半径は接点で直交するので、三角形ABOは直角三角形です。

ピタゴラスの定理より、$AO^2 = AB^2 + BO^2$ が成り立ちます。

$AO = 13, AB = 10$ なので、$13^2 = 10^2 + BO^2$

$169 = 100 + BO^2$

$BO^2 = 69$

$BO = \sqrt{69}$

円Oの半径はBOの長さに等しいので、$\sqrt{69}$cmです。

## 最終的な答え

$\sqrt{69}$ cm

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## 問題4

2つの円O, O'が接していて、2つの円O, O'に接する直線をひき、その接点をそれぞれA, Bとします。円Oの半径が6cm、線分ABの長さが$4\sqrt{3}$ cmのとき、円O'の半径を求めます。

## 解き方の手順

円Oの中心Oから線分BO'に平行な線を引き、線分ABとの交点をCとします。

すると、四角形O'BCAは長方形になり、$BC = O'B$となります。

三角形OO'Cは直角三角形になり、$OC = AB = 4\sqrt{3}, OO' = 6 + r$, $O'C = 6-r$ (ただしrはO'の半径)が成り立ちます。

ピタゴラスの定理より、$OO'^2 = OC^2 + O'C^2$

$(6 + r)^2 = (4\sqrt{3})^2 + (6 - r)^2$

$36 + 12r + r^2 = 48 + 36 - 12r + r^2$

$36 + 12r = 84 - 12r$

$24r = 48$

$r = 2$

## 最終的な答え

$2$ cm