図は直角三角形であり、各辺を直径とする半円が描かれています。直角を挟む2辺を直径とする半円の面積はそれぞれ1と2です。斜辺を直径とする半円の面積を求めよ。

1. 問題の内容

図は直角三角形であり、各辺を直径とする半円が描かれています。直角を挟む2辺を直径とする半円の面積はそれぞれ1と2です。斜辺を直径とする半円の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $a$ と $b$ とし、斜辺の長さを $c$ とします。

また、それぞれの半円の面積を $S_a, S_b, S_c$ とします。

半円の面積は、直径を $d$ とすると $\frac{1}{2} \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{8}$ で表されます。

よって、

$S_a = \frac{\pi a^2}{8} = 1$

$S_b = \frac{\pi b^2}{8} = 2$

$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

となります。

$S_c$ を求めるために、$a, b, c$ の関係を考えます。直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ちます。

したがって、

$\frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8}$

$S_a + S_b = S_c$

$S_a = 1$、$S_b = 2$ なので、$S_c = 1 + 2 = 3$ となります。

3. 最終的な答え

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