三角形ABCにおいて、$BC = 2$, $CA = 3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$であるとき、以下の問題を解く。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) $\sin A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC = 2$, $CA = 3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$であるとき、以下の問題を解く。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) $\sin A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

まず、$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$の公式を利用して、$\sin C$を求める。

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$0 < C < \pi$より$\sin C > 0$なので、$\sin C = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

三角形ABCの面積Sは、$S = \frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

(2) $\sin A$の値を求める。

余弦定理より、$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \times BC \times CA \times \cos C = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times (-\frac{1}{4}) = 4 + 9 + 3 = 16$

$AB > 0$より、$AB = 4$

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$

$\sin A = 2 \times \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積は、$\frac{3\sqrt{15}}{4}$

(2) $\sin A$の値は、$\frac{\sqrt{15}}{8}$