(1) 原点において円 $x^2+4x+y^2-8y=0$ と外側から接し、半径が $\sqrt{5}$ の円の方程式を求めよ。 (2) 円 $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ と原点について対称な円の方程式を求めよ。 (3) 点 $(-1, 2)$ を通り、$x$ 軸、$y$ 軸に接するような円の方程式を求めよ。 (4) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸に接し、中心が直線 $y=2x-1$ 上にある円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 原点において円 $x^2+4x+y^2-8y=0$ と外側から接し、半径が $\sqrt{5}$ の円の方程式を求めよ。

(2) 円 $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ と原点について対称な円の方程式を求めよ。

(3) 点 $(-1, 2)$ を通り、$x$ 軸、$y$ 軸に接するような円の方程式を求めよ。

(4) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸に接し、中心が直線 $y=2x-1$ 上にある円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた円 $x^2+4x+y^2-8y=0$ を変形すると、$(x+2)^2 + (y-4)^2 = 20$ となり、中心 $(-2, 4)$、半径 $2\sqrt{5}$ の円である。求める円の中心を $(a, b)$ とすると、中心間の距離は半径の和に等しいから、$\sqrt{(a+2)^2+(b-4)^2} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ となる。また、原点において接するので、$a:b = -2:4 = -1:2$ より $b=-2a$ である。

$\sqrt{(a+2)^2+(-2a-4)^2} = 3\sqrt{5}$

$(a+2)^2 + 4(a+2)^2 = 45$

$5(a+2)^2 = 45$

$(a+2)^2 = 9$

$a+2 = \pm 3$

$a=1, -5$

$a=1$ のとき $b=-2$, $a=-5$ のとき $b=10$

よって、求める円の方程式は $(x-1)^2+(y+2)^2=5$ または $(x+5)^2+(y-10)^2=5$

(2)

与えられた円 $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ を変形すると、$(x-1)^2+(y+2)^2=16$ となり、中心 $(1, -2)$、半径 $4$ の円である。原点に関して対称な円の中心は $(-1, 2)$ となる。半径は変わらないので、$4$ である。よって、求める円の方程式は $(x+1)^2+(y-2)^2=16$

(3)

求める円は $x$ 軸と $y$ 軸に接するので、中心は $(r, r)$ または $(r, -r)$ または $(-r, r)$ または $(-r, -r)$ の形をしている。また、点 $(-1, 2)$ を通るので、$r > 0$ である。

円の方程式は $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ または $(x-r)^2+(y+r)^2=r^2$ または $(x+r)^2+(y-r)^2=r^2$ または $(x+r)^2+(y+r)^2=r^2$ となる。

点 $(-1, 2)$ を通ることを考えると、

$(x+r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ に代入すると、

$(-1+r)^2 + (2-r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r=1, 5$

よって、求める円の方程式は $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ または $(x+5)^2+(y-5)^2=25$

(4)

求める円の中心を $(a, 2a-1)$ とする。また、$x$ 軸に接するので、半径は $|2a-1|$ である。よって、円の方程式は $(x-a)^2 + (y-(2a-1))^2 = (2a-1)^2$ である。この円が点 $(1, 2)$ を通るので、$(1-a)^2 + (2-(2a-1))^2 = (2a-1)^2$ となる。

$(1-a)^2 + (3-2a)^2 = (2a-1)^2$

$1 - 2a + a^2 + 9 - 12a + 4a^2 = 4a^2 - 4a + 1$

$a^2 - 10a + 9 = 0$

$(a-1)(a-9) = 0$

$a=1, 9$

$a=1$ のとき、中心は $(1, 1)$, 半径は $1$ となり、$(x-1)^2+(y-1)^2=1$

$a=9$ のとき、中心は $(9, 17)$, 半径は $17$ となり、$(x-9)^2+(y-17)^2=289$

よって、求める円の方程式は $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ または $(x-9)^2+(y-17)^2=289$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2+(y+2)^2=5$ または $(x+5)^2+(y-10)^2=5$

(2) $(x+1)^2+(y-2)^2=16$

(3) $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ または $(x+5)^2+(y-5)^2=25$

(4) $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ または $(x-9)^2+(y-17)^2=289$