正三角形ABCの内部に点Pをとる。PBを1辺とする正三角形QBPと、PCを1辺とする正三角形RPCをつくる。点Aと点Q、点Aと点Rをそれぞれ直線で結ぶ。このとき、PQ=RAまたはPR=QAとなる。どちらか一方を選んで証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCの内部に点Pをとる。PBを1辺とする正三角形QBPと、PCを1辺とする正三角形RPCをつくる。点Aと点Q、点Aと点Rをそれぞれ直線で結ぶ。このとき、PQ=RAまたはPR=QAとなる。どちらか一方を選んで証明する。

2. 解き方の手順

ここでは、PR = QAを証明する。

まず、与えられた条件から以下のことがわかる。

* 三角形ABC、三角形QBP、三角形RPCは正三角形である。

* 正三角形のすべての辺の長さは等しい。したがって、AB = BC = CA, QB = BP = PQ, RP = PC = CR

* 正三角形のすべての内角は60度である。したがって、∠ABC = ∠BCA = ∠CAB = 60°, ∠QBP = ∠BPQ = ∠PQB = 60°, ∠RPC = ∠PCR = ∠CRP = 60°

次に、三角形ABQと三角形PBRに着目する。

* AB = PB (三角形ABCと三角形QBPが正三角形より)

* 角ABQ = 角ABC - 角QBC、 角PBR = 角PBC - 角QBC

　よって角ABQ = 角PBR

* BQ = BC（三角形QBPが正三角形より）

* BR = BC（三角形RPCが正三角形より）

したがって、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形ABQと三角形PBRは合同である。

$AB = BP$

$BQ = BR$

$\angle ABQ = \angle ABC - \angle QBC = 60^\circ - \angle PBC = \angle PBA$

$\angle PBR = \angle PBC - \angle RBC = 60^\circ - \angle PBC = \angle PBA$

$\angle ABQ = \angle PBR$

よって、$\triangle ABQ \equiv \triangle PBR$である。

合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので、QA = PRである。

したがって、PR=QAが証明された。

3. 最終的な答え

PR = QA