円の中に線分AD, AP, BP, BD, ABがあり、AP = 2, PB = 3, BD = 6のとき、AD = xを求める問題です。

## 左側の問題

1. 問題の内容

円の中に線分AD, AP, BP, BD, ABがあり、AP = 2, PB = 3, BD = 6のとき、AD = xを求める問題です。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、$\angle{BAD} = \angle{BDP}$、$\angle{ABD} = \angle{ACD}$である。

$\triangle{APD}$と$\triangle{BPC}$について、$\angle{APD} = \angle{BPC}$（対頂角）であり、$\angle{PAD} = \angle{PBC}$（円周角の定理より$\angle{BAD} = \angle{BCD}$なので）。

よって、$\triangle{APD} \sim \triangle{BPC}$である。

したがって、$AP:BP = AD:BC$となるので、$2:3 = x:6$。

これを解いて、$x = 4$。

3. 最終的な答え

$x = 4$

## 右側の問題

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、ACとBDの交点をXとすると、AX = x, XC = 15, BX = 18, XD = 15であるとき、xを求める問題です。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形ABCDにおいて、トレミーの定理より

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

しかし、今回はトレミーの定理を使う必要はありません。方べきの定理を使うことができます。

方べきの定理より、$AX \cdot XC = BX \cdot XD$が成り立ちます。

よって、$x \cdot 15 = 18 \cdot 15$

これを解いて、$x = 18$。

3. 最終的な答え

$x = 18$