三角形ABCにおいて、$BC=2$, $CA=3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$ のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=2$, $CA=3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$ のとき、三角形ABCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin C$ の値を求める。

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$C$は三角形の内角なので、$0 < C < \pi$。よって、$\sin C > 0$。

したがって、$\sin C = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$。

次に、三角形ABCの面積を求める。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin C$で求められる。

$\frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は $\frac{3\sqrt{15}}{4}$