この問題は、三角比、正弦定理、余弦定理に関する問題です。具体的には、以下の内容を問われています。 (1) 三角比の値を求める。 (2) 線分の長さを三角比を用いて求める。 (3) 正弦定理、余弦定理を用いて辺の比、三角比の値を求める。 (4) 余弦定理を用いて辺の長さを求め、正弦定理を用いて外接円の半径を求め、面積を求める。

1. 問題の内容

この問題は、三角比、正弦定理、余弦定理に関する問題です。具体的には、以下の内容を問われています。

(1) 三角比の値を求める。

(2) 線分の長さを三角比を用いて求める。

(3) 正弦定理、余弦定理を用いて辺の比、三角比の値を求める。

(4) 余弦定理を用いて辺の長さを求め、正弦定理を用いて外接円の半径を求め、面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角比の値、三角比の式の値

(i) $cos45^\circ sin45^\circ + cos150^\circ tan30^\circ$

$cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

(ii) $(sin\theta + \sqrt{2}cos\theta)^2 + (cos\theta - \sqrt{2}sin\theta)^2$

$= sin^2\theta + 2\sqrt{2}sin\theta cos\theta + 2cos^2\theta + cos^2\theta - 2\sqrt{2}sin\theta cos\theta + 2sin^2\theta$

$= 3sin^2\theta + 3cos^2\theta = 3(sin^2\theta + cos^2\theta) = 3$

(iii) $cos\theta = \frac{1}{3} (0^\circ < \theta < 180^\circ)$のとき、$sin\theta$, $tan\theta$を求める。

$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$より、$sin^2\theta = 1 - cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$より、$sin\theta > 0$だから、$sin\theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$

$sin(90^\circ - \theta) + sin(180^\circ - \theta)$

$= cos\theta + sin\theta = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1+2\sqrt{2}}{3}$

(2) 線分の長さと三角比

$\angle CAB = \alpha$とすると、$cos\alpha = \frac{1}{3}$。$\triangle ACH$において、$cos\alpha = \frac{AH}{AC}$。したがって、$AH = AC \times cos\alpha = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。

$\triangle ABC$において、$cos\alpha = \frac{AB}{BC}$なので、$BC = \frac{AB}{cos\alpha}$。$\triangle ABC$は直角三角形なので、$AC^2 + AB^2 = BC^2$。$AC = 2$より、$4+AB^2 = BC^2$。

$cos\alpha = \frac{1}{3} = \frac{AB}{BC}$より、$BC = 3AB$。これを代入すると、$4 + AB^2 = (3AB)^2 = 9AB^2$。$8AB^2 = 4$より、$AB^2 = \frac{1}{2}$。$AB>0$より、$AB = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

したがって、$BC = 3AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。

(3) 正弦定理、余弦定理(1)

$sinA:sinB:sinC = 8:7:5$より、$a:b:c = 8:7:5$なので、$AB:BC:CA = 7:5:8$。

$cosA = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{7^2+8^2-8^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{49+64-64}{112} = \frac{49}{112} = \frac{7}{16}$

$sin^2A = 1-cos^2A = 1-(\frac{7}{16})^2 = 1 - \frac{49}{256} = \frac{207}{256}$.

$sinA = \frac{\sqrt{207}}{16} = \frac{3\sqrt{23}}{16}$。

(4) 正弦定理・余弦定理(2)

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \times CA \times cosA = 3^2+2^2-2 \times 3 \times 2 \times cos60^\circ = 9+4-12 \times \frac{1}{2} = 13-6 = 7$

$BC = \sqrt{7}$.

外接円の半径$R$について、$\frac{BC}{sinA} = 2R$が成り立つ。$sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、$2R = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$。$R = \frac{\sqrt{21}}{3}$。

面積$S = \frac{1}{2}ab sinC = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times sin60^\circ = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 3

ウ: $2\sqrt{2}$

エ: 3

オ: $2\sqrt{2}$

カ: $2\sqrt{2}$

キ: $\frac{1+2\sqrt{2}}{3}$

ク: $\frac{2}{3}$

ケ: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

コ: 7:5:8

サ: $\frac{7}{16}$

シ: $\frac{3\sqrt{23}}{16}$

ス: $\sqrt{7}$

セ: $\frac{\sqrt{21}}{3}$

ソ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$