(1) $0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求める。 (2) 半角の公式を使って、$\sin 15^\circ$ の値を求める。 (3) 次の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に表す。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。 (i) $\sin \theta - \cos \theta$ (ii) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$

1. 問題の内容

(1) $0 < \alpha < \pi$ で、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を求める。

(2) 半角の公式を使って、$\sin 15^\circ$ の値を求める。

(3) 次の式を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に表す。ただし、$r > 0$, $-\pi < \alpha \le \pi$ とする。

(i) $\sin \theta - \cos \theta$

(ii) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を用いて $\sin \alpha$ を求める。$0 < \alpha < \pi$ より $\sin \alpha > 0$ であることに注意する。

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

次に、倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ と $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ を用いて $\sin 2\alpha$ と $\cos 2\alpha$ を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}$.

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (-\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

次に、半角の公式 $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$ と $\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ を用いて $\sin \frac{\alpha}{2}$ と $\cos \frac{\alpha}{2}$ を求める。

$0 < \alpha < \pi$ より $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ かつ $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ である。

$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.

$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.

$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

(2)

半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ を用いる。$\sin 15^\circ > 0$ なので、

$\sin 15^\circ = \sin \frac{30^\circ}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$.

$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

(3) (i)

$\sin \theta - \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha) = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$.

$r \cos \alpha = 1$, $r \sin \alpha = -1$.

$r^2 = (r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2$, より $r = \sqrt{2}$.

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, より $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

よって、$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$.

(3) (ii)

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha) = r(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin \theta + (r \sin \alpha) \cos \theta$.

$r \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $r \sin \alpha = \frac{1}{2}$.

$r^2 = (r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$, より $r = 1$.

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$, より $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

よって、$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{6})$.

3. 最終的な答え

(1)

$\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$

$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(2)

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3)

(i) $\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(ii) $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$