座標平面上に、点$(0,2)$を通り半径が$\sqrt{5}$である円$C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$がある。ここで、$a$は正の定数、$b$は定数である。 (1) $a$と$b$の値をそれぞれ求めよ。 (2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直で、円$C$に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を$m$とする。直線$m$の方程式を求めよ。また、直線$m$と円$C$の接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、点$(0,2)$を通り半径が$\sqrt{5}$である円$C: x^2 + y^2 - 2ax - 6y + b = 0$がある。ここで、$a$は正の定数、$b$は定数である。

(1) $a$と$b$の値をそれぞれ求めよ。

(2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直で、円$C$に接する直線は2本ある。このうち、$y$軸の正の部分と交わる直線を$m$とする。直線$m$の方程式を求めよ。また、直線$m$と円$C$の接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円$C$が点$(0,2)$を通るので、円の式に$x=0, y=2$を代入すると、

$0^2 + 2^2 - 2a(0) - 6(2) + b = 0$

$4 - 12 + b = 0$

$b = 8$

円$C$の式を平方完成すると、

$(x^2 - 2ax) + (y^2 - 6y) + 8 = 0$

$(x-a)^2 - a^2 + (y-3)^2 - 9 + 8 = 0$

$(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2 + 1$

この円の半径は$\sqrt{a^2+1}$であり、問題文より$\sqrt{5}$に等しいので、

$\sqrt{a^2 + 1} = \sqrt{5}$

$a^2 + 1 = 5$

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a$は正の定数なので、$a = 2$

(2) 直線$y = -\frac{1}{2}x + 5$に垂直な直線の傾きは$2$である。

よって、求める直線$m$の方程式は$y = 2x + c$と表せる。

円$C$の方程式は $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5$である。

円$C$の中心$(2, 3)$と直線$y = 2x + c$、すなわち$2x - y + c = 0$との距離が、円の半径$\sqrt{5}$に等しいとき、直線は円に接する。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|2(2) - 3 + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|4 - 3 + c|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|1 + c| = 5$

$1 + c = \pm 5$

$c = -1 \pm 5$

$c = 4, -6$

したがって、接線の方程式は $y = 2x + 4$と$y = 2x - 6$である。

$y$軸の正の部分と交わる直線は$y = 2x + 4$なので、$m$は$y = 2x + 4$である。

次に、接点の座標を求める。

接線 $y = 2x + 4$ と円 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5$ の交点を求める。

$y = 2x + 4$を円の式に代入する。

$(x-2)^2 + (2x + 4 - 3)^2 = 5$

$(x-2)^2 + (2x + 1)^2 = 5$

$x^2 - 4x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 = 5$

$5x^2 = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) + 4 = 4$

よって、接点の座標は$(0, 4)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = 8$

(2) 直線$m$の方程式：$y = 2x + 4$

接点の座標：$(0, 4)$