四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=9, CD=4, ∠BAD=120°であり、三角形ABDの面積は$5\sqrt{3}$である。このとき、以下の問いに答える。 (i) ADの長さを求めよ。 (ii) BDの長さを求めよ。 (iii) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=9, CD=4, ∠BAD=120°であり、三角形ABDの面積は$5\sqrt{3}$である。このとき、以下の問いに答える。

(i) ADの長さを求めよ。

(ii) BDの長さを求めよ。

(iii) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) ADの長さを求める。

三角形ABDの面積は$\frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin{∠BAD}$で求められる。

したがって、

$\frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \sin{120^\circ} = 5\sqrt{3}$

$\sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{3} AD = 5\sqrt{3}$

$AD = 5$

(ii) BDの長さを求める。

三角形ABDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos{∠BAD}$

$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$なので、

$BD^2 = 16 + 25 - 40 \times (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 41 + 20$

$BD^2 = 61$

$BD = \sqrt{61}$

(iii) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和で求められる。

三角形ABDの面積は$5\sqrt{3}$である。

三角形BCDにおいて、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \times BC \times CD \times \cos{∠BCD}$

$61 = 9^2 + 4^2 - 2 \times 9 \times 4 \times \cos{∠BCD}$

$61 = 81 + 16 - 72 \cos{∠BCD}$

$61 = 97 - 72 \cos{∠BCD}$

$72 \cos{∠BCD} = 36$

$\cos{∠BCD} = \frac{1}{2}$

よって、$∠BCD = 60^\circ$

三角形BCDの面積は$\frac{1}{2} \times BC \times CD \times \sin{∠BCD}$で求められる。

$\frac{1}{2} \times 9 \times 4 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 9 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

したがって、四角形ABCDの面積は$5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(i) $AD = 5$

(ii) $BD = \sqrt{61}$

(iii) $14\sqrt{3}$