座標空間内の点O, A, B, Cは同一平面上にない。$s, t, u$ は0でない実数とする。直線OA上に点L, 直線OB上に点M, 直線OC上に点Nを$\overrightarrow{OL} = s\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{ON} = u\overrightarrow{OC}$が成り立つようにとる。 (1) $s, t, u$ が $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点L, M, Nの定める平面LMNは、$s, t, u$の値に無関係な一定の点Pを通ることを示せ。さらに、そのような点Pはただ一つに定まることを示せ。 (2) 四面体OABCの体積をVとする。(1)における点Pについて、四面体PABCの体積をVを用いて表せ。

1. 問題の内容

座標空間内の点O, A, B, Cは同一平面上にない。$s, t, u$ は0でない実数とする。直線OA上に点L, 直線OB上に点M, 直線OC上に点Nを$\overrightarrow{OL} = s\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{ON} = u\overrightarrow{OC}$が成り立つようにとる。

(1) $s, t, u$ が $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ を満たす範囲であらゆる値をとるとき、3点L, M, Nの定める平面LMNは、$s, t, u$の値に無関係な一定の点Pを通ることを示せ。さらに、そのような点Pはただ一つに定まることを示せ。

(2) 四面体OABCの体積をVとする。(1)における点Pについて、四面体PABCの体積をVを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 平面LMN上の任意の点をPとすると、実数$x, y$を用いて$\overrightarrow{OP} = (1-x-y)\overrightarrow{OL} + x\overrightarrow{OM} + y\overrightarrow{ON}$と表せる。

$\overrightarrow{OL} = s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{ON} = u\overrightarrow{OC}$を代入すると、

$\overrightarrow{OP} = (1-x-y)s\overrightarrow{OA} + xt\overrightarrow{OB} + yu\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OP} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB} + n\overrightarrow{OC}$とおくと、$l = (1-x-y)s, m = xt, n = yu$となる。

$x = \frac{m}{t}, y = \frac{n}{u}$より、$l = (1-\frac{m}{t}-\frac{n}{u})s$

$\frac{l}{s} + \frac{m}{t} + \frac{n}{u} = 1$

問題より、$\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$であるから、

$\frac{l}{s} + \frac{m}{t} + \frac{n}{u} = 1$に$\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$を掛けると、

$4(\frac{l}{s} + \frac{m}{t} + \frac{n}{u}) = 4$

$\frac{4l}{s} + \frac{4m}{t} + \frac{4n}{u} = 4$

$\overrightarrow{OP} = l\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB} + n\overrightarrow{OC}$が$s, t, u$の値に関わらず一定の点Pを通るためには、$4l = 1$, $4m = 2$, $4n = 3$となればよい。

$l = \frac{1}{4}, m = \frac{1}{2}, n = \frac{3}{4}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

点Pは一意に定まる。

(2) 四面体OABCの体積をVとする。四面体PABCの体積を$V_P$とすると、

$V_P = \frac{1}{6} | \overrightarrow{PA} \cdot (\overrightarrow{PB} \times \overrightarrow{PC}) |$

$\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OB} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} - (\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}) = -\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$

$V_P = \frac{1}{6} | (\frac{3}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}) \cdot ((-\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} - \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}) \times (-\frac{1}{4}\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OC})) |$

$V_P = \frac{1}{6} |\det[\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}, \overrightarrow{PC}]|$

$V_P = \frac{1}{6} | \det \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix} | |\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC})|$

$\det \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \frac{3}{4}(\frac{1}{8} - \frac{3}{8}) + \frac{1}{2}(-\frac{1}{16} - \frac{3}{16}) - \frac{3}{4}(\frac{1}{8} + \frac{1}{8}) = \frac{3}{4}(-\frac{2}{8}) + \frac{1}{2}(-\frac{4}{16}) - \frac{3}{4}(\frac{2}{8}) = -\frac{6}{32} - \frac{4}{32} - \frac{6}{32} = -\frac{16}{32} = -\frac{1}{2}$

$V_P = \frac{1}{6} |-\frac{1}{2}| | \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) |$

$V_P = \frac{1}{12} | \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) |$

$V = \frac{1}{6} | \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) |$

$V_P = \frac{1}{2} V$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

(2) $V_P = \frac{1}{2}V$