問題1: (1)の図において、$x$ の値を求めなさい。 問題3: 右の図において、直線ABは円Oの接線で、Bはその接点である。線分ABの長さが10cm、線分AOの長さが13cmであるとき、円Oの半径を求めなさい。 問題4: 右の図のように、2つの円O, O'が接していて、2つの円O, O'に接する直線をひき、その接点をそれぞれA, Bとする。円Oの半径が6cm、線分ABの長さが$4\sqrt{3}$ cmのとき、円O'の半径を求めなさい。

1. 問題の内容

問題1: (1)の図において、$x$ の値を求めなさい。

問題3: 右の図において、直線ABは円Oの接線で、Bはその接点である。線分ABの長さが10cm、線分AOの長さが13cmであるとき、円Oの半径を求めなさい。

問題4: 右の図のように、2つの円O, O'が接していて、2つの円O, O'に接する直線をひき、その接点をそれぞれA, Bとする。円Oの半径が6cm、線分ABの長さが$4\sqrt{3}$ cmのとき、円O'の半径を求めなさい。

2. 解き方の手順

問題1(1):

円の内部で交わる2本の弦に関する公式「AP * PC = DP * PB」を用いる。

$2 \cdot 3 = x \cdot 6$

$6 = 6x$

$x = 1$

問題3:

円Oの半径を $r$ とする。

接線は接点において半径と垂直に交わるから、三角形ABOは∠ABOが直角の直角三角形である。

三平方の定理より $AO^2 = AB^2 + OB^2$が成り立つ。

$13^2 = 10^2 + r^2$

$169 = 100 + r^2$

$r^2 = 69$

$r = \sqrt{69}$

問題4:

円Oの半径を $R = 6$ cm、円O'の半径を $r$ cmとする。

円Oの中心Oから線分O'Bに垂線OHを下ろす。

すると、四角形O'BAHは長方形となるから、$AH = O'B = r$ cm、 $OH = AB = 4\sqrt{3}$ cmとなる。

また、$OO' = R + r = 6 + r$ cm、 $OA = R = 6$ cm、$OA - AH = OH = 6-r$ cm

直角三角形O'HOにおいて、三平方の定理より

$OO'^2 = OH^2 + O'H^2$

$(6+r)^2 = (4\sqrt{3})^2 + (6-r)^2$

$36 + 12r + r^2 = 48 + 36 - 12r + r^2$

$12r = 48 - 12r$

$24r = 48$

$r = 2$

3. 最終的な答え

問題1(1): $x = 1$

問題3: $\sqrt{69}$ cm

問題4: $2$ cm