直線 $y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$ より下側にあり、x座標、y座標がともに自然数である点の個数を求める問題です。ただし、直線上の点は含めません。

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$ より下側にあり、x座標、y座標がともに自然数である点の個数を求める問題です。ただし、直線上の点は含めません。

2. 解き方の手順

まず、直線の式を変形します。

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$

$3y = -2x + 16$

$2x + 3y = 16$

次に、$x$ と $y$ が自然数である条件を考慮して、$x$ の範囲を決定します。$y$ が自然数であるためには、$-2x + 16 > 0$ である必要があります。

$2x < 16$

$x < 8$

したがって、$x$ は 1 から 7 までの自然数です。

次に、各 $x$ の値に対して、$y$ が自然数となる条件を求めます。また、直線より下側にあるという条件から、$y < -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$ を満たす必要があります。

$x = 1$ のとき: $2(1) + 3y = 16$ なので $3y = 14$, $y = \frac{14}{3} \approx 4.67$。したがって、$y$ は 1 から 4 までの自然数を取りうる。

$x = 2$ のとき: $2(2) + 3y = 16$ なので $3y = 12$, $y = 4$。このとき、直線上の点なので、これより小さい自然数 $y$ は 1, 2, 3 の3個。

$x = 3$ のとき: $2(3) + 3y = 16$ なので $3y = 10$, $y = \frac{10}{3} \approx 3.33$。したがって、$y$ は 1 から 3 までの自然数を取りうる。

$x = 4$ のとき: $2(4) + 3y = 16$ なので $3y = 8$, $y = \frac{8}{3} \approx 2.67$。したがって、$y$ は 1 と 2 の自然数を取りうる。

$x = 5$ のとき: $2(5) + 3y = 16$ なので $3y = 6$, $y = 2$。このとき、直線上の点なので、これより小さい自然数 $y$ は 1 の1個。

$x = 6$ のとき: $2(6) + 3y = 16$ なので $3y = 4$, $y = \frac{4}{3} \approx 1.33$。したがって、$y$ は 1 の自然数を取りうる。

$x = 7$ のとき: $2(7) + 3y = 16$ なので $3y = 2$, $y = \frac{2}{3} \approx 0.67$。したがって、自然数の $y$ は存在しない。

それぞれの $x$ に対する $y$ の個数を足し合わせます。

$4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 0 = 14$

3. 最終的な答え

14個