(1) 半径6cmの半球の表面積を求める。 (2) $\triangle ABC$があり、点Dは辺AC上の点である。点Eは$\triangle ABC$を線分BDで折り返したとき、頂点Cが移った点である。このとき、$\angle DAB$と$\angle ABE$の和を求める。$\angle BDC = 72^\circ$、$\angle C = 40^\circ$である。 (3) 立方体の展開図が与えられている。これを組み立てて立方体をつくったとき、辺ABとねじれの位置にある辺を、選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

(1) 半径6cmの半球の表面積を求める。

(2) $\triangle ABC$があり、点Dは辺AC上の点である。点Eは$\triangle ABC$を線分BDで折り返したとき、頂点Cが移った点である。このとき、$\angle DAB$と$\angle ABE$の和を求める。$\angle BDC = 72^\circ$、$\angle C = 40^\circ$である。

(3) 立方体の展開図が与えられている。これを組み立てて立方体をつくったとき、辺ABとねじれの位置にある辺を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 半径 $r$ の球の表面積は $4\pi r^2$である。半球なので、球の表面積の半分と、底面の円の面積を足す必要がある。

半球の表面積 = $\frac{1}{2} \times 4\pi r^2 + \pi r^2 = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

$r = 6$ を代入して、$3\pi \times 6^2 = 3\pi \times 36 = 108\pi$

(2) $\triangle BDC$において、$\angle DBC = 180^\circ - 72^\circ - 40^\circ = 68^\circ$である。

折り返したため、$\angle EBD = \angle DBC = 68^\circ$。

$\angle ABD = \angle ABC - \angle EBD - \angle DBC = \angle ABC - 68^\circ - 68^\circ = \angle ABC - 136^\circ$

$\triangle ABC$において、$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$ より $\angle A + \angle ABC + 40^\circ = 180^\circ$であるから、$\angle A = 140^\circ - \angle ABC$。

また、$\angle EDB = \angle CDB = 72^\circ$。

四角形ABDEの内角の和は360°なので、

$\angle DAB + \angle ABE + \angle BED + \angle EDA = 360^\circ$。

$\angle BED = \angle BCD = 40^\circ$。$\angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$。

$\angle ADE = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$。

$\angle A + \angle ABE + 40^\circ + 108^\circ = 360^\circ$ではない。

$\angle CDB = \angle EDB = 72^\circ$, $\angle CBD = \angle EBD$

$\angle A + \angle ABC = 180 - 40 = 140^\circ$

$\angle ABE + \angle CBE = \angle ABC$, $\angle ABE = \angle ABC - \angle CBE$

$\angle CBE = \angle CBD$, $2\angle CBD + \angle C = 180 - 72 = 108$

$2\angle CBD = 108-40 = 68$, $\angle CBD = 34^\circ$

$\angle ABE = \angle ABC - 34^\circ$

$\angle ADB = 180-72 = 108^\circ$, $\angle A = 180 - (108+ \angle ABD) = 72 - \angle ABD$

$\angle DAB + \angle ABE = 72 - \angle ABD + \angle ABC - 34 = 38 + \angle ABC - \angle ABD = 38 + \angle DBC = 38+34 = 72^\circ$

(3) 立方体を組み立てると、辺ABとねじれの位置にある辺は、辺GHである。

3. 最終的な答え

(1) $108\pi cm^2$

(2) $72^\circ$

(3) エ