問1: 三角形ABCにおいて、AB=6, BC=7, CA=8である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をD、角Aの外角の二等分線が直線BCと交わる点をEとするとき、BDとBEの長さを求める。 問2: (1)三角形ABCにおいて、点Oは外心である。角度が与えられたときに、$x$を求める。(2)三角形ABCにおいて、点Iは内心である。角度が与えられたときに、$y$を求める。 問3: 三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、EF//BCである。BD=8, DC=12のとき、$x$と$y$を求める。

1. 問題の内容

問1: 三角形ABCにおいて、AB=6, BC=7, CA=8である。角Aの二等分線と辺BCとの交点をD、角Aの外角の二等分線が直線BCと交わる点をEとするとき、BDとBEの長さを求める。

問2: (1)三角形ABCにおいて、点Oは外心である。角度が与えられたときに、$x$を求める。(2)三角形ABCにおいて、点Iは内心である。角度が与えられたときに、$y$を求める。

問3: 三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、EF//BCである。BD=8, DC=12のとき、$x$と$y$を求める。

2. 解き方の手順

問1:

角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:ACである。

$BD:DC = 6:8 = 3:4$

$BD + DC = BC = 7$

$BD = \frac{3}{3+4} \times 7 = \frac{3}{7} \times 7 = 3$

外角の二等分線の性質より、BE:CE = AB:ACである。

$BE:CE = 6:8 = 3:4$

$BE:CE = BE:(BE - BC) = BE:(BE - 7)$

$\frac{BE}{BE - 7} = \frac{3}{4}$

$4BE = 3(BE - 7)$

$4BE = 3BE - 21$

$BE = -21$

これは誤りなので、正しくは

$\frac{BE}{CE} = \frac{BE}{BE-7} = \frac{3}{4}$

$4BE = 3(BE+7)$

$BE = 21$

問2:

(1) 点Oは外心なので、OA=OB。よって、三角形OABは二等辺三角形。

$\angle OAB = \angle OBA = x$

$\angle AOB = 180^\circ - 2x$

また、$\angle AOC = 2 \angle ABC$なので、$\angle BOC=2 \angle BAC=2 \cdot 64 = 128$。さらに、$\angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360^\circ$

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle BOC = 2\angle BAC=2 \times 64 = 128$

$\angle BOA = 2 \angle BCA=2 \times 39 = 78$

$\angle COA = 360 - 128 - 78 = 154$

$\angle BCA=39$

$x = \frac{180-78}{2} = 51$

(2) 点Iは内心なので、BIは角Bの二等分線、CIは角Cの二等分線。

$\angle BIC = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

$\angle B + \angle C = 180^\circ - y$

$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - y) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{y}{2} = 90^\circ + \frac{y}{2}$

$\angle IBC = 24^\circ, \angle ICB = 40^\circ$

$y = 180 - 24 \times 2 - 40 \times 2=180-48-80 = 52$

$\frac{1}{2} \times 52 = 26$

$y = 52^\circ$

問3:

Gは重心なので、AG:GD = 2:1

$AD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2}(8 + 12) = 10$

$AG = \frac{2}{3}AD$

$x = \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$

EF//BCなので、三角形AEGと三角形ABDは相似、三角形AGFと三角形ADCも相似。

$AG:AD=y:BD$なので、$\frac{20}{3}:10=y:8$

$\frac{20}{3} \div 10 = y \div 8$

$\frac{2}{3} = \frac{y}{8}$

$y = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

問1: BD = 3, BE = 21

問2: (1) x = 51, (2) y = 52

問3: x = 20/3, y = 16/3