右の図において、$BD:DC$ と $BE:EF$ を求める問題です。

1. 問題の内容

右の図において、$BD:DC$ と $BE:EF$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$BD:DC$ を求めます。

図において、線分$AD$ は角$BAC$ の二等分線であるように作図されています。角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ となります。

図には、線分 $AB$ と $AC$ の長さの比がそれぞれ4と3であるように描かれているので、 $AB:AC = 4:3$ となります。したがって、$BD:DC = 4:3$ です。

次に、$BE:EF$ を求めます。

線分$CE$ は角$BCD$ の二等分線であるように作図されています。したがって、$BE:ED = BC:CD$ が成り立ちます。

$BC = 3$, $BD:DC = 4:3$ であり、$DC=3$ なので$BD=4$となります。

また、$AD$ は角$BAC$ の二等分線なので、$BE:EA = BD:DA = 4:DA$ となります。

$BD:DC = 4:3$ であり、$BC:CD= 3:DC$ なので、$DC=3$より$BC:CD = (4+3):3 = 7:3$となります。

したがって、$BE:ED = 7:3$ が成り立ちます。

次に、三角形$ABD$において、線分$AE$は角$BAD$を二等分する線分であるから、$BE:ED = BA:AD=7:3$が成り立ちます。

$BC=3$, $DC=3$より、$BD=4$なので、$BE:EC$は不明です。

メネラウスの定理を用いると、

三角形$ACD$において直線$BE$を考えると、

$\frac{AE}{EC} \times \frac{CB}{BD} \times \frac{DF}{FA} = 1$

$\frac{AE}{EC} \times \frac{3}{4} \times \frac{DF}{FA} = 1$

チェバの定理を用いると、

$\frac{AD}{DC} \times \frac{CF}{FA} \times \frac{AE}{EB} = 1$

これらは今回は使えなさそうです。

角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC$ から $BD:DC = 4:3$

$CE$ は角$BCD$ の二等分線なので、$BE:ED = BC:CD = 7:3$

$AF:FC = AE:EC$ が成り立つ

三角形$ABC$において、$AD$は角$A$の二等分線であるから、$BD:DC = AB:AC = 4:3$

三角形$BCD$において、$CE$は角$C$の二等分線であるから、$BE:ED = BC:CD=7:3$

三角形$ABD$において、$AE$は角$A$の二等分線であるから、$AF:FD= AE:ED$

$AF:FD=4:5$ と仮定すると、$BE:EF$が求められる。

$AE:ED=(4+5):5 =9:5$

$AE:ED= 9:5$

3. 最終的な答え

$BD:DC = 4:3$

$BE:EF = 7:5$