平行四辺形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=3$, $\angle ABC = 60^\circ$とする。 (1) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。 (2) 線分BDの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=3$, $\angle ABC = 60^\circ$とする。

(1) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。

(2) 線分BDの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行四辺形の面積の求め方：平行四辺形の面積は、底辺 × 高さ で求められます。

まず、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとします。三角形ABHは、$\angle ABH = 60^\circ$の直角三角形であるため、

$AH = AB \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

したがって、平行四辺形ABCDの面積は、

$BC \cdot AH = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

(2) 余弦定理を用いて線分BDの長さを求めます。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \angle BAD$

平行四辺形であるから、$AD = BC = 3$であり、向かい合う角の和は180度なので、$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

よって、

$BD^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$なので、

$BD^2 = 4 + 9 - 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 4 + 9 + 6 = 19$

$BD = \sqrt{19}$

3. 最終的な答え

(1) 平行四辺形ABCDの面積：$3\sqrt{3}$

(2) 線分BDの長さ：$\sqrt{19}$