問題は2つあります。 (1) $\tan \frac{5}{12} \pi$ の値を求める。 (2) 次の2直線のなす角$\theta$を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。 (a) $y = \frac{1}{3}x$ と $y=2x$ (b) $8x+2y-3=0$ と $-5x+3y+1=0$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\tan \frac{5}{12} \pi$ の値を求める。

(2) 次の2直線のなす角$\theta$を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

(a) $y = \frac{1}{3}x$ と $y=2x$

(b) $8x+2y-3=0$ と $-5x+3y+1=0$

2. 解き方の手順

(1) $\tan \frac{5}{12} \pi$の値を求める。

$\frac{5}{12} \pi = \frac{2}{12} \pi + \frac{3}{12} \pi = \frac{1}{6} \pi + \frac{1}{4} \pi = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$

$\tan \frac{5}{12} \pi = \tan (30^\circ + 45^\circ)$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$を使用します。

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan (30^\circ + 45^\circ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1} = \frac{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$

$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

(2) 2直線のなす角$\theta$を求める。

(a) $y = \frac{1}{3}x$ と $y=2x$

$m_1 = \frac{1}{3}$, $m_2 = 2$

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3} \cdot 2} \right| = \left| \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} \right| = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

(b) $8x+2y-3=0$ と $-5x+3y+1=0$

$2y = -8x + 3 \implies y = -4x + \frac{3}{2}$

$3y = 5x - 1 \implies y = \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$

$m_1 = -4$, $m_2 = \frac{5}{3}$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{3} - (-4)}{1 + (-4) \cdot \frac{5}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{3} + 4}{1 - \frac{20}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{17}{3}}{-\frac{17}{3}} \right| = |-1| = 1$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \frac{5}{12} \pi = 2 + \sqrt{3}$

(2) (a) $\theta = \frac{\pi}{4}$

(b) $\theta = \frac{\pi}{4}$