次の3つの定積分を求める問題です。 (1) $\int_{1}^{2} 3x^2 dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ (3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$

1. 問題の内容

次の3つの定積分を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{2} 3x^2 dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

(3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} 3x^2 dx$ の計算

$3x^2$ の不定積分は $x^3$ です。したがって、

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx = [x^3]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ の計算

$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

(3) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ の計算

$\frac{1}{1+x^2}$ の不定積分は $\arctan x$ です。したがって、

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = [\arctan x]_{1}^{\sqrt{3}} = \arctan \sqrt{3} - \arctan 1 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 1

(3) $\frac{\pi}{12}$