与えられた4組の連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求めます。

はい、承知いたしました。連立方程式の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4組の連立方程式を解き、$x$と$y$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、最初の連立方程式を解きます。

$x - 2y + 1 = 0$より、$x = 2y - 1$と表せます。

これを$2x^2 - 4x - y + 3 = 0$に代入します。

$2(2y - 1)^2 - 4(2y - 1) - y + 3 = 0$

$2(4y^2 - 4y + 1) - 8y + 4 - y + 3 = 0$

$8y^2 - 8y + 2 - 8y + 4 - y + 3 = 0$

$8y^2 - 17y + 9 = 0$

$(8y - 9)(y - 1) = 0$

したがって、$y = 1$または$y = \frac{9}{8}$です。

$y = 1$のとき、$x = 2(1) - 1 = 1$

$y = \frac{9}{8}$のとき、$x = 2(\frac{9}{8}) - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

(2)

次に、2番目の連立方程式を解きます。

$x + y - 2 = 0$より、$x = 2 - y$と表せます。

これを$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$に代入します。

$(2 - y)^2 + y^2 - 2(2 - y) - 4y - 4 = 0$

$4 - 4y + y^2 + y^2 - 4 + 2y - 4y - 4 = 0$

$2y^2 - 6y - 4 = 0$

$y^2 - 3y - 2 = 0$

解の公式より、$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-2)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$のとき、$x = 2 - \frac{3 + \sqrt{17}}{2} = \frac{4 - 3 - \sqrt{17}}{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$のとき、$x = 2 - \frac{3 - \sqrt{17}}{2} = \frac{4 - 3 + \sqrt{17}}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

(3)

3番目の連立方程式を解きます。

$2x - 3y + 6 = 0$より、$2x = 3y - 6$, よって$x = \frac{3}{2}y - 3$

これを$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$に代入します。

$\frac{(\frac{3}{2}y - 3)^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

$\frac{\frac{9}{4}y^2 - 9y + 9}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

$\frac{1}{4}y^2 - y + 1 + \frac{y^2}{4} = 1$

$\frac{1}{2}y^2 - y = 0$

$y(\frac{1}{2}y - 1) = 0$

$y = 0$または$y = 2$

$y = 0$のとき、$x = \frac{3}{2}(0) - 3 = -3$

$y = 2$のとき、$x = \frac{3}{2}(2) - 3 = 0$

(4)

4番目の連立方程式を解きます。

$x - 2y + 1 = 0$より、$x = 2y - 1$と表せます。

これを$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$に代入します。

$\frac{(2y - 1)^2}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

$\frac{4y^2 - 4y + 1}{4} - \frac{y^2}{16} = 1$

$4y^2 - 4y + 1 - \frac{y^2}{4} = 4$

$16y^2 - 16y + 4 - y^2 = 16$

$15y^2 - 16y - 12 = 0$

$(5y + 2)(3y - 6) = 0$

$y = -\frac{2}{5}$または$y = 2$

$y = -\frac{2}{5}$のとき、$x = 2(-\frac{2}{5}) - 1 = -\frac{4}{5} - 1 = -\frac{9}{5}$

$y = 2$のとき、$x = 2(2) - 1 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (1, 1), (\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$

(2) $(x, y) = (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}), (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

(3) $(x, y) = (-3, 0), (0, 2)$

(4) $(x, y) = (-\frac{9}{5}, -\frac{2}{5}), (3, 2)$