2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるための条件を考えます。

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、$x^2$ の係数を正にすると、

$x^2 - mx - m > 0$

となります。

この不等式の解がすべての実数となるのは、2次関数 $y = x^2 - mx - m$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあるとき、つまり、すべての $x$ に対して $y > 0$ が成り立つときです。

これは、以下の条件を満たす場合に起こります。

* 2次関数の判別式 $D$ が $D < 0$ である。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(-m) = m^2 + 4m$

となります。

したがって、$D < 0$ となるのは、

$m^2 + 4m < 0$

$m(m + 4) < 0$

この不等式を解くと、$-4 < m < 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-4 < m < 0$