画像にはいくつかの問題がありますが、ここでは以下の3つの問題について解答します。 * 問題4: $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。 * 問題5: $x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^4 - y^4$ を求める。 * 1次不等式(1): 不等式 $\frac{3(3x-2)}{2} < x < \frac{7x+5}{3}$ の解を求める。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像にはいくつかの問題がありますが、ここでは以下の3つの問題について解答します。

* 問題4: $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

* 問題5: $x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $x^4 - y^4$ を求める。

* 1次不等式(1): 不等式 $\frac{3(3x-2)}{2} < x < \frac{7x+5}{3}$ の解を求める。

2. 解き方の手順

* 問題4:

* $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$(\sqrt{6})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$6 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

* $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める:

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$(4)^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$16 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

* 問題5:

* $x+y$ を求める:

$x+y = \frac{2+\sqrt{2}}{2} + \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

* $xy$ を求める:

$xy = (\frac{2+\sqrt{2}}{2}) (\frac{2-\sqrt{2}}{2}) = \frac{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{4} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

* $x^2 + y^2$ を求める:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2)^2 - 2(\frac{1}{2}) = 4 - 1 = 3$

* $x^4 - y^4$ を求める:

$x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = (x^2 + y^2)(x+y)(x-y)$

$x-y = \frac{2+\sqrt{2}}{2} - \frac{2-\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x^4 - y^4 = (3)(2)(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$

* 1次不等式(1):

* $\frac{3(3x-2)}{2} < x$

$9x - 6 < 2x$

$7x < 6$

$x < \frac{6}{7}$

* $x < \frac{7x+5}{3}$

$3x < 7x + 5$

$-4x < 5$

$x > -\frac{5}{4}$

* よって、$-\frac{5}{4} < x < \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

* 問題4: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14$

* 問題5: $x+y = 2$, $xy = \frac{1}{2}$, $x^2+y^2 = 3$, $x^4 - y^4 = 6\sqrt{2}$

* 1次不等式(1): $-\frac{5}{4} < x < \frac{6}{7}$