4次方程式 $x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx - 8 = 0$ が $x = -1$ と $x = 2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに $x = -1, 2$ 以外の解を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 3x^3 + ax^2 + bx - 8 = 0$ が $x = -1$ と $x = 2$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値を求め、さらに $x = -1, 2$ 以外の解を求める。

2. 解き方の手順

$x = -1$ と $x = 2$ が解であることから、それぞれの方程式に代入して $a$ と $b$ の連立方程式を立てて解きます。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^4 - 3(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 8 = 0$

$1 + 3 + a - b - 8 = 0$

$a - b = 4$

$x = 2$ を代入すると、

$(2)^4 - 3(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 8 = 0$

$16 - 24 + 4a + 2b - 8 = 0$

$4a + 2b = 16$

$2a + b = 8$

連立方程式

$a - b = 4$

$2a + b = 8$

を解きます。

2つの式を足し合わせると、$3a = 12$ より $a = 4$ 。

$a = 4$ を $a - b = 4$ に代入すると、$4 - b = 4$ より $b = 0$ 。

よって、$a = 4$ 、 $b = 0$ 。

元の式に $a = 4$ 、 $b = 0$ を代入すると、

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 8 = 0$

この式は、$x = -1$ と $x = 2$ を解に持つので、$(x + 1)$ と $(x - 2)$ で割り切れます。したがって、$(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$ で割り切れます。

割り算を実行すると、

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 8 = (x^2 - x - 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = 0$

$x = 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$