問題50と問題12の(2)を解きます。 問題50:$n$を自然数とするとき、$n^3 + 9n^2 + 23n + 15$を因数分解し、$n^3 + 9n^2 + 23n + 15$を3で割った余りを求める。 問題12の(2): $\lfloor \frac{1}{3}x+1 \rfloor = -2$を満たす$x$の値の範囲を求める。ここで$\lfloor x \rfloor$は$x$以下の最大の整数を表す。

代数学因数分解整数の性質不等式床関数
2025/7/8

1. 問題の内容

問題50と問題12の(2)を解きます。
問題50:nnを自然数とするとき、n3+9n2+23n+15n^3 + 9n^2 + 23n + 15を因数分解し、n3+9n2+23n+15n^3 + 9n^2 + 23n + 15を3で割った余りを求める。
問題12の(2): 13x+1=2\lfloor \frac{1}{3}x+1 \rfloor = -2を満たすxxの値の範囲を求める。ここでx\lfloor x \rfloorxx以下の最大の整数を表す。

2. 解き方の手順

問題50:
まずは、n3+9n2+23n+15n^3 + 9n^2 + 23n + 15を因数分解します。n=1n = -1を代入すると、
(1)3+9(1)2+23(1)+15=1+923+15=0(-1)^3 + 9(-1)^2 + 23(-1) + 15 = -1 + 9 - 23 + 15 = 0
となるため、n+1n+1を因数に持つことがわかります。
n3+9n2+23n+15n^3 + 9n^2 + 23n + 15n+1n+1 で割ると、
n2+8n+15n^2 + 8n + 15 となります。
さらに、n2+8n+15n^2 + 8n + 15 を因数分解すると、(n+3)(n+5)(n+3)(n+5) となります。
したがって、n3+9n2+23n+15=(n+1)(n+3)(n+5)n^3 + 9n^2 + 23n + 15 = (n+1)(n+3)(n+5) と因数分解できます。
次に、n3+9n2+23n+15=(n+1)(n+3)(n+5)n^3 + 9n^2 + 23n + 15 = (n+1)(n+3)(n+5) を3で割った余りを求めます。
nnが自然数であることから、n+1n+1, n+3n+3, n+5n+5 は連続する3つの奇数または連続する3つの偶数です。
したがって、これらのうち少なくとも1つは3の倍数になります。
なぜなら、3つの連続する整数の中には必ず3の倍数が含まれるからです。
したがって、(n+1)(n+3)(n+5)(n+1)(n+3)(n+5) は3の倍数であるため、3で割った余りは0です。
問題12の(2):
13x+1=2\lfloor \frac{1}{3}x+1 \rfloor = -2 を満たす xx の範囲を求めます。
床関数(ガウス記号)の定義より、
213x+1<1-2 \le \frac{1}{3}x+1 < -1
となります。
各辺から1を引くと、
313x<2-3 \le \frac{1}{3}x < -2
各辺に3を掛けると、
9x<6-9 \le x < -6

3. 最終的な答え

問題50:
因数分解の結果:(n+1)(n+3)(n+5)(n+1)(n+3)(n+5)
3で割った余り:0
問題12の(2):
9x<6-9 \le x < -6

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