問題50と問題12の(2)を解きます。 問題50:$n$を自然数とするとき、$n^3 + 9n^2 + 23n + 15$を因数分解し、$n^3 + 9n^2 + 23n + 15$を3で割った余りを求める。 問題12の(2): $\lfloor \frac{1}{3}x+1 \rfloor = -2$を満たす$x$の値の範囲を求める。ここで$\lfloor x \rfloor$は$x$以下の最大の整数を表す。
2025/7/8
1. 問題の内容
問題50と問題12の(2)を解きます。
問題50:を自然数とするとき、を因数分解し、を3で割った余りを求める。
問題12の(2): を満たすの値の範囲を求める。ここでは以下の最大の整数を表す。
2. 解き方の手順
問題50:
まずは、を因数分解します。を代入すると、
となるため、を因数に持つことがわかります。
を で割ると、
となります。
さらに、 を因数分解すると、 となります。
したがって、 と因数分解できます。
次に、 を3で割った余りを求めます。
が自然数であることから、, , は連続する3つの奇数または連続する3つの偶数です。
したがって、これらのうち少なくとも1つは3の倍数になります。
なぜなら、3つの連続する整数の中には必ず3の倍数が含まれるからです。
したがって、 は3の倍数であるため、3で割った余りは0です。
問題12の(2):
を満たす の範囲を求めます。
床関数(ガウス記号)の定義より、
となります。
各辺から1を引くと、
各辺に3を掛けると、
3. 最終的な答え
問題50:
因数分解の結果:
3で割った余り:0
問題12の(2):