(1) 関数 $y = 2^{x+3} - 4^x$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (2) $\frac{1}{3} \le x \le 81$ のとき、$\log_3 x$ の範囲を求め、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^3$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 2^{x+3} - 4^x$ の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(2) $\frac{1}{3} \le x \le 81$ のとき、$\log_3 x$ の範囲を求め、関数 $y = (\log_3 x)^2 - \log_3 x^3$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた関数を $y = 2^{x+3} - 4^x = 2^3 \cdot 2^x - (2^x)^2 = 8 \cdot 2^x - (2^x)^2$ と変形する。

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$y = 8t - t^2 = -(t^2 - 8t) = -(t^2 - 8t + 16) + 16 = -(t-4)^2 + 16$ となる。

したがって、$t=4$ のとき、$y$ は最大値 $16$ をとる。

$t = 2^x = 4 = 2^2$ より、$x = 2$ である。

(2)

$\frac{1}{3} \le x \le 81$ のとき、$\log_3 x$ の範囲を考える。

$\log_3 \frac{1}{3} \le \log_3 x \le \log_3 81$ より、$-1 \le \log_3 x \le 4$ である。

ここで、$u = \log_3 x$ とおくと、$y = u^2 - \log_3 x^3 = u^2 - 3 \log_3 x = u^2 - 3u$ となる。

$y = u^2 - 3u = (u - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ である。

範囲 $-1 \le u \le 4$ で、$y$ の最大値と最小値を求める。

$u = \frac{3}{2}$ は範囲に含まれるため、$u = \frac{3}{2}$ のとき、$y$ は最小値 $-\frac{9}{4}$ をとる。

$u = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$

$u = 4$ のとき、$y = 4^2 - 3(4) = 16 - 12 = 4$

したがって、$y$ は最大値 $4$ をとる。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2

イウ: 16

(2)

エオ: -1

カ: 4

キ: 4

クケ/コ: -9/4