円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。$PA = 3$, $AB = 7$, $CD = 1$ であるとき、$PC$の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線ABとCDの交点をPとする。$PA = 3$, $AB = 7$, $CD = 1$ であるとき、$PC$の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用します。方べきの定理より、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。

まず、$PB$の長さを求めます。$PB = PA + AB = 3 + 7 = 10$ です。

次に、$PD$の長さを、$PC$を用いて表します。$PD = PC + CD = PC + 1$ です。

方べきの定理の式に値を代入すると、

$3 \cdot 10 = PC \cdot (PC + 1)$

$30 = PC^2 + PC$

$PC^2 + PC - 30 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(PC + 6)(PC - 5) = 0$

$PC = -6$ または $PC = 5$

$PC$は長さなので、$PC > 0$ です。したがって、$PC = 5$ です。

3. 最終的な答え

$PC = 5$