定積分 $\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int (x + \cos x) dx$ を計算します。

$x$ の積分は $\frac{x^2}{2}$ であり、$\cos x$ の積分は $\sin x$ です。

したがって、

$$\int (x + \cos x) dx = \frac{x^2}{2} + \sin x + C$$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分 $\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx$ を計算します。

これは、積分結果 $\frac{x^2}{2} + \sin x$ を $x=1$ と $x=0$ で評価し、その差を取ることで計算できます。

$$\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx = \left[\frac{x^2}{2} + \sin x\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + \sin 1\right) - \left(\frac{0^2}{2} + \sin 0\right) = \frac{1}{2} + \sin 1 - 0 = \frac{1}{2} + \sin 1$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} + \sin 1$