以下の2つの定積分を計算する問題です。 * $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$ * $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$

1. 問題の内容

以下の2つの定積分を計算する問題です。

* $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$

* $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$

2. 解き方の手順

* **最初の積分 $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$ の計算**

1. 不定積分を計算します。

$\int (x + \frac{3}{x^2}) dx = \int (x + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x^2 - 3x^{-1} + C = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{x} + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx = [\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{x}]_{1}^{2} = (\frac{1}{2}(2)^2 - \frac{3}{2}) - (\frac{1}{2}(1)^2 - \frac{3}{1}) = (2 - \frac{3}{2}) - (\frac{1}{2} - 3) = \frac{1}{2} - (-\frac{5}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

* **2番目の積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$ の計算**

1. 不定積分を計算します。

$\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x - (-\cos x) + C = \sin x + \cos x + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

* $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx = 3$

* $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = \sqrt{2} - 1$