関数 $\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ が $x \to \infty$ で定数に収束するための $a$ の条件を求める問題です。 特に、$a = -1$ となる理由を説明します。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ が $x \to \infty$ で定数に収束するための $a$ の条件を求める問題です。 特に、$a = -1$ となる理由を説明します。

2. 解き方の手順

まず、関数を以下のように変形します。

$\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b = x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + ax + b$

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$ は 1 に近づきます。

より詳しく調べるために、$\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$ をテイラー展開（または二項定理）を使って展開することを考えます。$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x}$ は非常に小さいので、次のように近似できます。

$\sqrt{1 + \frac{4}{x}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

したがって、

$x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + ax + b \approx x\left(1 + \frac{2}{x}\right) + ax + b = x + 2 + ax + b = (1+a)x + (2+b)$

この関数が $x \to \infty$ で定数に収束するためには、$x$ の項が消えなければなりません。つまり、$1 + a = 0$ である必要があります。

したがって、$a = -1$ が得られます。

また、$a = -1$ のとき、

$\sqrt{x^2 + 4x} - x + b$ が定数に収束するかどうかを調べます。

$\sqrt{x^2 + 4x} - x + b = (\sqrt{x^2 + 4x} - x) + b = \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - x)(\sqrt{x^2 + 4x} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} + b = \frac{(x^2 + 4x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} + b = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} + b = \frac{4x}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + x} + b = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} + b$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ であるから、

$\frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} + b \to \frac{4}{\sqrt{1+0} + 1} + b = \frac{4}{2} + b = 2 + b$

これは定数ですので、確かに $a=-1$ であれば、$\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ は定数に収束することがわかります。

3. 最終的な答え

関数 $\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b$ が $x \to \infty$ で定数に収束するためには、$a = -1$ でなければなりません。なぜなら、$a \neq -1$ であれば、$x$ の項が残り、$x \to \infty$ で発散してしまうからです。$a = -1$ のとき、関数は定数 $2+b$ に収束します。