関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ が与えられたとき、その $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ が与えられたとき、その $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

* $f(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$

* $f'(x) = (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^2}$

* $f''(x) = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3} = \frac{2}{(1-x)^3}$

* $f'''(x) = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 6(1-x)^{-4} = \frac{6}{(1-x)^4}$

これらの結果から、$f^{(n)}(x)$ は以下の形になると推測できます。

$$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$$

これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1!}{(1-x)^{1+1}}$ なので、正しい。

(ii) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$ が正しいと仮定する。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{k!}{(1-x)^{k+1}} = k! \frac{d}{dx} (1-x)^{-(k+1)}$

$= k! (-(k+1))(1-x)^{-(k+2)}(-1) = k! (k+1)(1-x)^{-(k+2)} = (k+1)!(1-x)^{-(k+2)}$

$= \frac{(k+1)!}{(1-x)^{(k+1)+1}}$

したがって、$n=k+1$ のときも正しい。

よって、すべての自然数 $n$ に対して、$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ が成立します。

次に、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{(1-0)^{n+1}} = \frac{n!}{1^{n+1}} = n!$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$f^{(n)}(0) = n!$