$a>0$ かつ $b>0$ のとき、以下の不等式を証明する問題です。 (1) $(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{b}) \ge 4$ (2) $(a+\frac{1}{b})(4b+\frac{1}{a}) \ge 9$

1. 問題の内容

$a>0$ かつ $b>0$ のとき、以下の不等式を証明する問題です。

(1) $(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{b}) \ge 4$

(2) $(a+\frac{1}{b})(4b+\frac{1}{a}) \ge 9$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の左辺を展開し、相加相乗平均の不等式を利用します。

左辺を展開すると、

$(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

$a>0$ かつ $b>0$ より、$\frac{a}{b} > 0$ かつ $\frac{b}{a} > 0$ なので、相加相乗平均の不等式より、

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 + 2 = 4$

ゆえに、

$(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{b}) \ge 4$

(2) 不等式の左辺を展開し、相加相乗平均の不等式を利用します。

左辺を展開すると、

$(a+\frac{1}{b})(4b+\frac{1}{a}) = 4ab + 1 + 4 + \frac{1}{ab} = 5 + 4ab + \frac{1}{ab}$

$a>0$ かつ $b>0$ より、$ab > 0$ なので、相加相乗平均の不等式より、

$4ab + \frac{1}{ab} \ge 2\sqrt{4ab \cdot \frac{1}{ab}} = 2\sqrt{4} = 4$

したがって、

$5 + 4ab + \frac{1}{ab} \ge 5 + 4 = 9$

ゆえに、

$(a+\frac{1}{b})(4b+\frac{1}{a}) \ge 9$

3. 最終的な答え

(1) $(1+\frac{b}{a})(1+\frac{a}{b}) \ge 4$ が証明されました。

(2) $(a+\frac{1}{b})(4b+\frac{1}{a}) \ge 9$ が証明されました。