$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y = 4$ のとき、$xy$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x+y=4$ より、$y=4-x$ となります。

これを $xy$ に代入すると、

$xy = x(4-x) = 4x - x^2$ となります。

$f(x) = 4x - x^2$ とおくと、$f(x)$ の最大値を求める問題となります。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x-2)^2 + 4$

となります。

$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ なので、$x \geq 0$ かつ $4-x \geq 0$ となり、

$0 \leq x \leq 4$ となります。

したがって、$x=2$ のとき、$f(x)$ は最大値 $4$ をとります。

このとき、$y = 4-x = 4-2 = 2$ となります。

よって、$xy$ の最大値は、$x=2$, $y=2$ のとき、$2 \times 2 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

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