数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -2$ および $a_{n+1} = 5a_n + 12$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = -2$ および $a_{n+1} = 5a_n + 12$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 5a_n + 12$ を変形して、等比数列の形に持ち込みます。特性方程式を $x = 5x + 12$ とおくと、これを解いて $x = -3$ となります。

したがって、与えられた漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} + 3 = 5(a_n + 3)$

ここで、$b_n = a_n + 3$ とおくと、$b_{n+1} = 5b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比5の等比数列であることがわかります。

$b_1 = a_1 + 3 = -2 + 3 = 1$ であるから、数列 $\{b_n\}$ の一般項は

$b_n = b_1 \cdot 5^{n-1} = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$

となります。

$b_n = a_n + 3$ より、 $a_n = b_n - 3$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = 5^{n-1} - 3$

3. 最終的な答え

$a_n = 5^{n-1} - 3$