数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n^2 + n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されているとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

代数学数列漸化式一般項Σ(シグマ)
2025/7/7

1. 問題の内容

数列 {an}\{a_n\}a1=2a_1 = 2 および漸化式 an+1=an+3n2+na_{n+1} = a_n + 3n^2 + n (n=1,2,3,n = 1, 2, 3, \dots) で定義されているとき、この数列の一般項 ana_n を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を書き換えます。
an+1an=3n2+na_{n+1} - a_n = 3n^2 + n
この式は、数列 {an}\{a_n\} の階差数列が 3n2+n3n^2 + n であることを意味します。
したがって、n2n \ge 2 のとき、
an=a1+k=1n1(3k2+k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + k)
a1=2a_1 = 2 なので、
an=2+k=1n1(3k2+k)a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 + k)
和の公式 k=1n1k2=(n1)n(2n1)6\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}k=1n1k=(n1)n2\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2} を用いると、
an=2+3k=1n1k2+k=1n1ka_n = 2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k
an=2+3(n1)n(2n1)6+(n1)n2a_n = 2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}
an=2+(n1)n(2n1)2+(n1)n2a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2}
an=2+(n1)n(2n1)+(n1)n2a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1) + (n-1)n}{2}
an=2+(n1)n(2n1+1)2a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1+1)}{2}
an=2+(n1)n(2n)2a_n = 2 + \frac{(n-1)n(2n)}{2}
an=2+(n1)n2a_n = 2 + (n-1)n^2
an=2+n3n2a_n = 2 + n^3 - n^2
an=n3n2+2a_n = n^3 - n^2 + 2
n=1n = 1 のとき、a1=1312+2=11+2=2a_1 = 1^3 - 1^2 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2 となり、与えられた条件 a1=2a_1 = 2 を満たします。
したがって、すべての nn に対して an=n3n2+2a_n = n^3 - n^2 + 2 が成り立ちます。

3. 最終的な答え

an=n3n2+2a_n = n^3 - n^2 + 2

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