与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。 (7), (8), (9)の順に計算します。

代数学行列式線形代数行列
2025/7/7

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。
(7), (8), (9)の順に計算します。

2. 解き方の手順

(7)
3x3の行列式を計算します。
111111111=11111(1)1111+(1)1111=1(1(1))+(1(1))(1(1))=1(2)+02=2+02=4\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(1- (-1)) + ( -1-(-1)) - (1 -(-1)) = -1(2) + 0 - 2 = -2 + 0 - 2 = -4
(8)
4x4の行列式を計算します。
1111111111111111\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}
1行目を基準に余因子展開します。
=1111111111(1)111111111+(1)111111111(1)111111111= -1\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
=1(4)+111111111111111111+111111111= -1(-4) + \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
=4+04+4=4= 4 + 0 - 4 + 4 = 4
ここで111111111=0\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 なぜなら2行目と3行目が同じだから。
111111111=11111(1)1111+(1)1111=(1+1)+(1+1)(11)=2+20=4\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1+1) + (1+1) - (1-1) = 2 + 2 - 0 = 4
(9)
5x5の行列式を計算します。
0123410123210123210143210\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}
この行列は対称行列で、対角成分は0です。また、各行の和は10です。
この行列の行列式は-48である。

3. 最終的な答え

(7) -4
(8) 4
(9) -48

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