与えられた4つの命題について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題について、それぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 「$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$」であることは、$x^2 + y^2 \le 4$ であるための？

$x = 2, y = 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たします。また、$x^2 + y^2 = 4 + 0 = 4 \le 4$ も満たします。

$x = 0, y = 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たします。また、$x^2 + y^2 = 0 + 0 = 0 \le 4$ も満たします。

逆に、$x^2 + y^2 \le 4$ であっても、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ であるとは限りません。例えば、$x = 0, y = -3$ のとき、$x^2 + y^2 = 9 > 4$。$x = 0, y = 1$ のとき、$x^2 + y^2 = 1 < 4$。

$x = 1, y = 1$のとき、$x^2 + y^2 = 2 \le 4$。しかし、$-2 \le x \le 2$かつ$-2 \le y \le 2$を満たします。

$x^2 + y^2 \le 4$から、必ず$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$は導けないので、十分条件ではありません。

$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ から、必ず$x^2 + y^2 \le 4$は導けないので、必要条件でもありません。

たとえば、$x = 2, y = 2$のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たしますが、$x^2 + y^2 = 8 > 4$ となり、$x^2 + y^2 \le 4$を満たしません。

したがって、必要条件でも十分条件でもありません。答えは④

(2) 「$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$」であることは、「$|x| + |y| \le 1$」であるための？

$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$ ならば $|x| + |y| \le 1$ とは限りません。例えば、$x = 1, y = 1$ なら $|x| = 1 \le 1$ かつ $|y| = 1 \le 1$ を満たしますが、$|x| + |y| = 2 > 1$ となります。よって、十分条件ではありません。

しかし、 $|x| + |y| \le 1$ ならば $|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$ は成り立ちます。

$|x| \le |x| + |y| \le 1$, $|y| \le |x| + |y| \le 1$

したがって、必要条件ですが十分条件ではありません。答えは②

(3) $x > 2$ であることは、$x^2 + 3x - 10 > 0$ であるための？

$x^2 + 3x - 10 = (x+5)(x-2) > 0$ となるのは、$x > 2$ または $x < -5$ のときです。

$x > 2$ ならば $x^2 + 3x - 10 > 0$ は成り立ちますが、$x^2 + 3x - 10 > 0$ ならば $x > 2$ であるとは限りません (例えば、$x = -6$ の場合)。

したがって、十分条件であるが、必要条件ではありません。答えは③

(4) 自然数 $n$ に対して、$n$ を 4 で割ると 1 余ることは、$n^2$ を 4 で割ると 1 余るための？

$n$ を 4 で割ると 1 余るとき、$n = 4k + 1$ (k は整数) と書けます。

このとき、$n^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ を 4 で割ると 1 余ります。

逆に、$n^2$ を 4 で割ると 1 余るとき、$n^2 = 4m + 1$ (m は整数) と書けます。

$n = 2$のとき、$n^2 = 4$ で 4 で割ると 0 余り、$n = 3$のとき、$n^2 = 9$ で 4 で割ると 1 余り、$n = 4$のとき、$n^2 = 16$ で 4 で割ると 0 余り、$n = 5$のとき、$n^2 = 25$ で 4 で割ると 1 余り。

$n$が奇数のとき、$n^2$ を 4 で割ると 1 余ります。

$n = 2l + 1$ のとき $n^2 = 4l^2 + 4l + 1 = 4(l^2+l) + 1$となります。

$n = 4k+1$ ならば $n^2$を 4 で割ると 1 余り、$n^2$を 4 で割ると 1 余るならば $n = 4k+1$を満たすとは限りません。

$n$ を 4 で割ると 1 余ることは、$n^2$ を 4 で割ると 1 余るための十分条件ですが、必要条件ではありません。

したがって、③が答えです。

3. 最終的な答え

1: ④

2: ②

3: ③

4: ③