$\triangle ABC$ の内部に点 $P$ があり、正の数 $l, m, n$ について、$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立っているとき、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$ であることを示す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の内部に点 $P$ があり、正の数 $l, m, n$ について、$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ が成り立っているとき、$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$ であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を変形する。基準点を $A$ に変更すると、

$l\overrightarrow{PA} = l(\overrightarrow{AA} - \overrightarrow{AP}) = -l\overrightarrow{AP}$

$m\overrightarrow{PB} = m(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP})$

$n\overrightarrow{PC} = n(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP})$

となるので、元の式に代入すると

$-l\overrightarrow{AP} + m(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + n(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}) = \overrightarrow{0}$

$m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC} = (l+m+n)\overrightarrow{AP}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}}{l+m+n}$

次に、$\overrightarrow{AP}$ を線分 $BC$ を分ける点 $D$ を用いて表すことを考える。

$\overrightarrow{AP} = \frac{l+m+n}{m+n} \cdot \frac{m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}}{m+n} = \frac{l+m+n}{m+n} \overrightarrow{AD}$

ここで、点 $D$ は線分 $BC$ を $n:m$ に内分する点である。

$\frac{AD}{AP} = \frac{l+m+n}{m+n}$ となるので、$\frac{AP}{AD} = \frac{m+n}{l+m+n}$

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、

$\triangle PBC = \frac{l}{l+m+n}S$

$\triangle PCA = \frac{m}{l+m+n}S$

$\triangle PAB = \frac{n}{l+m+n}S$

が成り立つことを示す。

$\triangle ABC$ を $S$ とすると、$\triangle ABD = \frac{m}{m+n}S$, $\triangle ADC = \frac{n}{m+n}S$

$\triangle PBD = \frac{AP}{AD} \cdot \frac{n}{m+n} S = \frac{m+n}{l+m+n} \cdot \frac{l}{m+n} \cdot \frac{n}{m+n} S = \frac{l}{l+m+n}\cdot \frac{m}{m+n} S$

$\triangle PCD = \frac{l}{l+m+n}S$

$\triangle PBC = \triangle PBD+\triangle PCD$

ここで面積比は高さの比に等しいことを利用する。

点 $P$ から直線 $BC$、$CA$、$AB$ に下ろした垂線の長さをそれぞれ $h_a$、$h_b$、$h_c$ とする。

$\triangle PBC = \frac{1}{2}BC \cdot h_a$

$\triangle PCA = \frac{1}{2}CA \cdot h_b$

$\triangle PAB = \frac{1}{2}AB \cdot h_c$

一方、$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ であるから、これは点 $P$ が $\triangle ABC$ の重心である場合と似た状況である。

$l, m, n$ が正の数であることから、点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にある。

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$ を示すためには、$\triangle PBC = lk, \triangle PCA = mk, \triangle PAB = nk$ となるような $k$ が存在することを示せばよい。

$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} + n\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ より、$l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB} = -n\overrightarrow{PC}$

したがって、$|l\overrightarrow{PA} + m\overrightarrow{PB}| = |n\overrightarrow{PC}|$

3. 最終的な答え

$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB = l : m : n$