赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻す操作を3回繰り返します。 次の2つのうち、どちらが得かを比較する問題です。 (1) 赤玉1個につき250円をもらう。 (2) 白玉が2個出たときだけ2000円をもらう。

1. 問題の内容

赤玉3個、白玉2個が入った袋から玉を1個取り出し、元に戻す操作を3回繰り返します。

次の2つのうち、どちらが得かを比較する問題です。

(1) 赤玉1個につき250円をもらう。

(2) 白玉が2個出たときだけ2000円をもらう。

2. 解き方の手順

まず、赤玉と白玉を取り出す確率を計算します。

赤玉を取り出す確率は $P(赤) = \frac{3}{5}$ です。

白玉を取り出す確率は $P(白) = \frac{2}{5}$ です。

次に、(1)の場合の期待値を計算します。

3回の試行で赤玉が出る回数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(3, \frac{3}{5})$ に従います。

したがって、$X$ の期待値は $E(X) = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ です。

もらえる金額の期待値は $250 \times E(X) = 250 \times \frac{9}{5} = 450$ 円です。

次に、(2)の場合の期待値を計算します。

3回の試行で白玉が2個出る確率を求めます。これは二項分布の確率で計算できます。

白玉が2個出る確率は

${}_3 C_2 \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{3}{5})^1 = 3 \times \frac{4}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$

したがって、もらえる金額の期待値は $2000 \times \frac{36}{125} = \frac{72000}{125} = 576$ 円です。

最後に、(1)と(2)の期待値を比較します。

(1)の期待値は450円、(2)の期待値は576円なので、(2)の方が得です。

3. 最終的な答え

(2)の方が得。