一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺AB, CDの中点をそれぞれE, Fとする。 (1) $AB \perp EF$が成り立つことを証明する。 (2) $\triangle BCD$の重心をGとするとき、線分EGの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて、辺AB, CDの中点をそれぞれE, Fとする。

(1) $AB \perp EF$が成り立つことを証明する。

(2) $\triangle BCD$の重心をGとするとき、線分EGの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルを使って証明する。$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}, \vec{d} = \vec{OD}$とおく。

このとき、$\vec{OE} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, $\vec{OF} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$である。

したがって、$\vec{EF} = \vec{OF} - \vec{OE} = \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b})$となる。

また、$\vec{AB} = \vec{b}-\vec{a}$である。

ここで、正四面体の一辺の長さが1であることより、

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$,

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{d} = \vec{b}\cdot\vec{c} = \vec{b}\cdot\vec{d} = \vec{c}\cdot\vec{d} = \frac{1}{2}$が成り立つ。

$\vec{AB}\cdot\vec{EF} = (\vec{b}-\vec{a})\cdot \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}-\vec{a}-\vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d}-\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(1-1-1+1) = 0$

したがって、$\vec{AB} \perp \vec{EF}$であるから、$AB \perp EF$が成り立つ。

(2)

$\triangle BCD$の重心Gは、$\vec{OG} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$である。

したがって、$\vec{EG} = \vec{OG} - \vec{OE} = \frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} - \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} = \frac{2\vec{b}+2\vec{c}+2\vec{d}-3\vec{a}-3\vec{b}}{6} = \frac{-3\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}+2\vec{d}}{6}$となる。

$|\vec{EG}|^2 = \frac{1}{36}|-3\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c}+2\vec{d}|^2 = \frac{1}{36}(9|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+4|\vec{c}|^2+4|\vec{d}|^2+6\vec{a}\cdot\vec{b}-12\vec{a}\cdot\vec{c}-12\vec{a}\cdot\vec{d}-4\vec{b}\cdot\vec{c}-4\vec{b}\cdot\vec{d}+8\vec{c}\cdot\vec{d}) = \frac{1}{36}(9+1+4+4+6\cdot \frac{1}{2}-12\cdot \frac{1}{2}-12\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{2}+8\cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{36}(18+3-6-6-2-2+4) = \frac{1}{36}(21-16+4)=\frac{5}{36} = \frac{5}{36}$.

$|\vec{EG}| = \sqrt{\frac{5}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $AB \perp EF$

(2) $EG = \frac{\sqrt{5}}{6}$