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$\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$ の値を $\alpha < 1$ の場合と $\alpha \geq 1$ の場合に分けて求め、それぞれ $\frac{1}{1-\alpha}$ および $\infty$ となることを確かめる問題です。

解析学積分広義積分定積分関数
2025/7/7

1. 問題の内容

∫011xαdx\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx の値を α<1\alpha < 1 の場合と α≥1\alpha \geq 1 の場合に分けて求め、それぞれ 11−α\frac{1}{1-\alpha} および ∞\infty となることを確かめる問題です。

2. 解き方の手順

まず、∫1xαdx\int \frac{1}{x^\alpha} dx を計算します。α≠1\alpha \neq 1 のとき、
∫x−αdx=x−α+1−α+1+C=x1−α1−α+C\int x^{-\alpha} dx = \frac{x^{-\alpha + 1}}{-\alpha + 1} + C = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} + C
α=1\alpha = 1 のとき、
∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C
次に、α<1\alpha < 1 の場合を考えます。このとき、
∫011xαdx=lim⁡ϵ→+0∫ϵ1x−αdx=lim⁡ϵ→+0[x1−α1−α]ϵ1=lim⁡ϵ→+0(11−α1−α−ϵ1−α1−α)\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_\epsilon^1 = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right)
α<1\alpha < 1 より 1−α>01 - \alpha > 0 なので、lim⁡ϵ→+0ϵ1−α=0\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = 0 です。したがって、
∫011xαdx=11−α\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \frac{1}{1-\alpha}
次に、α>1\alpha > 1 の場合を考えます。このとき、
∫011xαdx=lim⁡ϵ→+0∫ϵ1x−αdx=lim⁡ϵ→+0[x1−α1−α]ϵ1=lim⁡ϵ→+0(11−α1−α−ϵ1−α1−α)\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 x^{-\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \left[ \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_\epsilon^1 = \lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{\epsilon^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right)
α>1\alpha > 1 より 1−α<01 - \alpha < 0 なので、lim⁡ϵ→+0ϵ1−α=lim⁡ϵ→+01ϵα−1=∞\lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = \lim_{\epsilon \to +0} \frac{1}{\epsilon^{\alpha-1}} = \infty です。したがって、
∫011xαdx=11−α−11−αlim⁡ϵ→+0ϵ1−α=∞\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \frac{1}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \lim_{\epsilon \to +0} \epsilon^{1-\alpha} = \infty
最後に、α=1\alpha = 1 の場合を考えます。
∫011xdx=lim⁡ϵ→+0∫ϵ11xdx=lim⁡ϵ→+0[ln⁡∣x∣]ϵ1=lim⁡ϵ→+0(ln⁡(1)−ln⁡(ϵ))=lim⁡ϵ→+0(0−ln⁡(ϵ))=−lim⁡ϵ→+0ln⁡(ϵ)=∞\int_0^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to +0} [\ln|x|]_\epsilon^1 = \lim_{\epsilon \to +0} (\ln(1) - \ln(\epsilon)) = \lim_{\epsilon \to +0} (0 - \ln(\epsilon)) = -\lim_{\epsilon \to +0} \ln(\epsilon) = \infty
したがって、α≥1\alpha \geq 1 のとき、∫011xαdx=∞\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \infty となります。

3. 最終的な答え

∫011xαdx={11−α(α<1)∞(α≥1)\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx = \begin{cases} \frac{1}{1-\alpha} & (\alpha < 1) \\ \infty & (\alpha \geq 1) \end{cases}

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