与えられた4つの関数を微分する問題です。ただし、4番目の問題の $a$ は定数です。 1) $(3x-1)^5$ 2) $\sin(2x^2+1)$ 3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 4) $(e^x + a)^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。ただし、4番目の問題の $a$ は定数です。

1) $(3x-1)^5$

2) $\sin(2x^2+1)$

3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

4) $(e^x + a)^2$

2. 解き方の手順

1) $(3x-1)^5$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x-1$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3$ です。

$(3x-1)^5 = u^5$ の微分は $5u^4$ です。よって、

$\frac{d}{dx}(3x-1)^5 = 5(3x-1)^4 \cdot 3 = 15(3x-1)^4$

2) $\sin(2x^2+1)$ の微分

これも合成関数の微分です。$v = 2x^2+1$ とすると、$\frac{dv}{dx} = 4x$ です。

$\sin(v)$ の微分は $\cos(v)$ です。よって、

$\frac{d}{dx}\sin(2x^2+1) = \cos(2x^2+1) \cdot 4x = 4x\cos(2x^2+1)$

3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の微分

これも合成関数の微分です。$w = \frac{1-x}{1+x}$ とすると、$\frac{dw}{dx} = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$ です。

$\sqrt{w} = w^{1/2}$ の微分は $\frac{1}{2}w^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{w}}$ です。よって、

$\frac{d}{dx}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} = \frac{-1}{(1+x)^2 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}} = \frac{-\sqrt{1+x}}{(1+x)^2\sqrt{1-x}} = \frac{-1}{(1+x)^{3/2}\sqrt{1-x}} = \frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $(e^x + a)^2$ の微分

合成関数の微分を行います。$z = e^x + a$ とすると、$\frac{dz}{dx} = e^x$ です。

$(e^x+a)^2 = z^2$ の微分は $2z$ です。よって、

$\frac{d}{dx}(e^x+a)^2 = 2(e^x+a) \cdot e^x = 2e^x(e^x+a)$

3. 最終的な答え

1) $15(3x-1)^4$

2) $4x\cos(2x^2+1)$

3) $\frac{-1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$

4) $2e^x(e^x+a)$