2つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3\sqrt{2} x}} dx$ (2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} dx$

1. 問題の内容

2つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3\sqrt{2} x}} dx$

(2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3\sqrt{2} x}} dx$

この式を解くには、まず定数倍を整理します。

$\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{x}} dx$

$u = \sqrt{x}$ と置換すると、$u^2 = x$ となり、$2u du = dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x = -1$ のとき $u = i$、$x = 0$ のとき $u = 0$。

よって、

$\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{x}} dx = \int_{-1}^{0} \sqrt{x}dx$

となります。

$\int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3\sqrt{2}x}} dx = \int_{-1}^{0} \frac{x}{\sqrt{3 \cdot 2^{1/2}x}}dx$

これは解けません。

(2) $\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} dx$

これは $x = 3\sec(\theta)$ と置換すると解けます。

$dx = 3\sec(\theta)\tan(\theta) d\theta$

$\sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{9\sec^2(\theta) - 9} = 3\tan(\theta)$

積分範囲も変更します。

$x = 3$ のとき、$3 = 3\sec(\theta)$ なので、$\sec(\theta) = 1$、$\theta = 0$

$x = 6$ のとき、$6 = 3\sec(\theta)$ なので、$\sec(\theta) = 2$、$\theta = \frac{\pi}{3}$

よって、

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3\sec(\theta)\tan(\theta)}{3\tan(\theta)} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec(\theta) d\theta$

$\int \sec(\theta) d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec(\theta) d\theta = [\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)|]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \ln|\sec(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{3})| - \ln|\sec(0) + \tan(0)| = \ln|2 + \sqrt{3}| - \ln|1 + 0| = \ln(2 + \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) 計算不能

(2) $\ln(2 + \sqrt{3})$