## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

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7. チェバ・メネラウスの定理: 三角形ABCにおいて、AR:RB = 2:1, AQ:QC = 3:2であるとき、BP:PCとAO:OPの比を求める。

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8. 円周角: 円Oにおいて、BDは直径、∠CBD=76°であるとき、∠BAD, ∠BAC, ∠BOCの角度を求める。

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2. 解き方の手順

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7. チェバ・メネラウスの定理

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

与えられた条件より、$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$, $\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{2}$であるから、$\frac{CQ}{QA} = \frac{2}{3}$となる。

これを代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

よって、$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{4}$

次に、メネラウスの定理（直線RQが辺BC, CA, ABまたはその延長と交わるとき）より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1$

△ABPにおいて、直線ROでメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{PC}{CB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{PC}{PC+BP} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{3}{4}$なので、$PC = \frac{4}{3}BP$

$\frac{PC}{PC+BP} = \frac{\frac{4}{3}BP}{\frac{4}{3}BP+BP} = \frac{\frac{4}{3}BP}{\frac{7}{3}BP} = \frac{4}{7}$

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$なので、$\frac{BR}{RA} = \frac{1}{2}$

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AO}{OP} \cdot \frac{2}{7} = 1$

$\frac{AO}{OP} = \frac{7}{2}$

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8. 円周角

BDは円Oの直径なので、∠BCD = 90°である。

∠CBD = 76°より、∠BDC = 90° - 76° = 14°

∠BADは∠BDCの円周角なので、∠BAD = ∠BDC = 14°

∠BAC = ∠BAD + ∠DAC

∠DACは∠DBCの円周角なので、∠DAC = ∠DBC = 76°

∠BAC = 14° + 76° = 90°

∠BOCは∠BDCに対する中心角なので、∠BOC = 2 * ∠BDC = 2 * 14° = 28°

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3. 最終的な答え

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7. BP: PC = 3:4, AO: OP = 7:2

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8. ∠BAD = 14°, ∠BAC = 90°, ∠BOC = 28°