この問題は、複素数の極形式、ド・モアブルの定理、複素数の回転、複素数平面上の図形に関する問題です。具体的には、 1. 複素数を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表す問題（4問）。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

この問題は、複素数の極形式、ド・モアブルの定理、複素数の回転、複素数平面上の図形に関する問題です。具体的には、

1. 複素数を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表す問題（4問）。

2. ド・モアブルの定理を用いて計算する問題（3問）。

3. 複素数の回転を利用して、点を回転させた後の複素数を求める問題（2問）と、正三角形となる複素数を求める問題（1問）。

4. 複素数の方程式が表す図形を答える問題（5問）。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

1. 複素数の極形式

(1) $z = 2 - 2i$ の場合:

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\tan\theta = \frac{-2}{2} = -1$。$z$ は第4象限にあるので、$\theta = \frac{7\pi}{4}$.

よって、$z = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$.

(2) $z = -3 + \sqrt{3}i$ の場合:

$r = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. $z$ は第2象限にあるので、$\theta = \frac{5\pi}{6}$.

よって、$z = 2\sqrt{3}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$.

(3) $z = -2i$ の場合:

$r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$.

よって、$z = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$.

(4) $z = \sqrt{2} + \sqrt{6}i$ の場合:

$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$. $z$ は第1象限にあるので、$\theta = \frac{\pi}{3}$.

よって、$z = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$.

2. ド・モアブルの定理

(1) $(1+i)^8$ の場合:

$1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.

$(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos\frac{8\pi}{4} + i\sin\frac{8\pi}{4}\right) = 16(\cos2\pi + i\sin2\pi) = 16$.

(2) $(-\sqrt{3}-i)^5$ の場合:

$-\sqrt{3}-i = 2\left(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}\right)$.

$(-\sqrt{3}-i)^5 = 2^5\left(\cos\frac{35\pi}{6} + i\sin\frac{35\pi}{6}\right) = 32\left(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}\right) = 32\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = 16\sqrt{3} - 16i$.

(3) $\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}\right)^{20}$ の場合:

$\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{2}-\sqrt{2}i} = \frac{2(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}{2(\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4}))} = \frac{\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}}{\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})} = \cos\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12}$

$\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}\right)^{20} = \cos\frac{140\pi}{12} + i\sin\frac{140\pi}{12} = \cos\frac{35\pi}{3} + i\sin\frac{35\pi}{3} = \cos\frac{11\pi}{3} + i\sin\frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

3. 複素数の回転

(1) 点 $A(2+3i)$ を原点を中心として $\frac{\pi}{4}$ 回転:

$(2+3i)\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = (2+3i)\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2+3i+2i-3) = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+5i) = \frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}i$.

(2) 点 $A(2+3i)$ を点 $B(-1-i)$ を中心として $-\frac{2\pi}{3}$ 回転:

まず、$A$ を $B$ を中心として平行移動し、$A' = A - B = (2+3i) - (-1-i) = 3+4i$.

次に、$A'$ を原点を中心として $-\frac{2\pi}{3}$ 回転:

$(3+4i)\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) = (3+4i)\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{4i}{2} - \frac{3\sqrt{3}i}{2} + \frac{4\sqrt{3}}{2} = \frac{-3+4\sqrt{3}}{2} + \frac{-4-3\sqrt{3}}{2}i$.

最後に、$B$ を中心とした回転なので、$A'' = B + A' \cdot e^{-i(2\pi/3)} = -1-i + \frac{-3+4\sqrt{3}}{2} + \frac{-4-3\sqrt{3}}{2}i = \frac{-5+4\sqrt{3}}{2} + \frac{-6-3\sqrt{3}}{2}i$.

(3) 点 $A(2+3i)$, 点 $B(-1-i)$ とする. $\triangle ABC$ が正三角形となる点 $C$ を表す複素数を求めよ:

点 $C$ は、$A$ を $B$ を中心として $\frac{\pi}{3}$ または $-\frac{\pi}{3}$ 回転させた点です。

1つ目のCを求めます。$C = B + (A-B)e^{i\pi/3} = (-1-i) + (3+4i)(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) = (-1-i) + (3+4i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1-i + \frac{3}{2} - \frac{4\sqrt{3}}{2} + i(\frac{4}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} -2\sqrt{3} + i(1+\frac{3\sqrt{3}}{2})$

もう1つのCを求めます。$C' = B + (A-B)e^{-i\pi/3} = (-1-i) + (3+4i)(\cos\frac{-\pi}{3} + i\sin\frac{-\pi}{3}) = (-1-i) + (3+4i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1-i + \frac{3}{2} + \frac{4\sqrt{3}}{2} + i(-\frac{4}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + 2\sqrt{3} + i(-3+\frac{3\sqrt{3}}{2})$

4. 複素数の方程式が表す図形

(1) $|z+1+i| = 3$: 中心 $-1-i$, 半径 3 の円。

(2) $z\overline{z}+2z+2\overline{z}+4 = 1$: $|z+2|^2 = 1$ より、中心 $-2$, 半径 1 の円。

(3) $z\overline{z}-(1-i)z-(1+i)\overline{z} = 0$: $|z-(1+i)/2|^2=(1+i)(1-i)/4 = (1+1)/4=1/2$ より、中心 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$, 半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の円。

(4) $|z-1| = |z+i|$: 1 と -i を結ぶ線分の垂直二等分線。

(5) $|z+3-i| = |z+1+2i|$: $-3+i$ と $-1-2i$ を結ぶ線分の垂直二等分線。

3. 最終的な答え

1. (1) $2\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$

(2) $2\sqrt{3}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$

(3) $2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right)$

(4) $2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$

2. (1) $16$

(2) $16\sqrt{3} - 16i$

(3) $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

3. (1) $\frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{2}i$

(2) $\frac{-5+4\sqrt{3}}{2} + \frac{-6-3\sqrt{3}}{2}i$

(3) $\frac{1}{2} -2\sqrt{3} + i(1+\frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $\frac{1}{2} + 2\sqrt{3} + i(-3+\frac{3\sqrt{3}}{2})$

4. (1) 中心 $-1-i$, 半径 3 の円

(2) 中心 $-2$, 半径 1 の円

(3) 中心 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$, 半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の円

(4) 1 と -i を結ぶ線分の垂直二等分線

(5) $-3+i$ と $-1-2i$ を結ぶ線分の垂直二等分線