方程式 $x^2 + y^2 + tx - (t+3)y + \frac{5}{2}t^2 = 0$ が円を表すとき、$t$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + y^2 + tx - (t+3)y + \frac{5}{2}t^2 = 0$ が円を表すとき、$t$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式が円を表すための条件を考えます。まず、方程式を円の方程式の標準形である $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形します。ここで、$r$ は円の半径であり、$r > 0$ である必要があります。

与えられた方程式を平方完成すると、以下のようになります。

$x^2 + tx + y^2 - (t+3)y + \frac{5}{2}t^2 = 0$

$(x + \frac{t}{2})^2 - (\frac{t}{2})^2 + (y - \frac{t+3}{2})^2 - (\frac{t+3}{2})^2 + \frac{5}{2}t^2 = 0$

$(x + \frac{t}{2})^2 + (y - \frac{t+3}{2})^2 = (\frac{t}{2})^2 + (\frac{t+3}{2})^2 - \frac{5}{2}t^2$

$(x + \frac{t}{2})^2 + (y - \frac{t+3}{2})^2 = \frac{t^2}{4} + \frac{t^2 + 6t + 9}{4} - \frac{10t^2}{4}$

$(x + \frac{t}{2})^2 + (y - \frac{t+3}{2})^2 = \frac{-8t^2 + 6t + 9}{4}$

この方程式が円を表すためには、右辺が正の数である必要があります。つまり、

$\frac{-8t^2 + 6t + 9}{4} > 0$

$-8t^2 + 6t + 9 > 0$

$8t^2 - 6t - 9 < 0$

この不等式を解くために、まず $8t^2 - 6t - 9 = 0$ となる $t$ を求めます。解の公式を用いると、

$t = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(8)(-9)}}{2(8)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{16} = \frac{6 \pm 18}{16}$

$t_1 = \frac{6 + 18}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{6 - 18}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$

したがって、$8t^2 - 6t - 9 < 0$ を満たす $t$ の範囲は $-\frac{3}{4} < t < \frac{3}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4} < t < \frac{3}{2}$