10本のくじの中に当たりくじが3本入っている。この中から3本のくじを同時に引くとき、引いた3本の中に2本以上の当たりくじを含む確率を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが3本入っている。この中から3本のくじを同時に引くとき、引いた3本の中に2本以上の当たりくじを含む確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、10本のくじから3本を引く方法の総数を計算する。これは組み合わせの問題なので、$_{10}C_3$を計算する。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、当たりくじが2本の場合の数を計算する。当たりくじから2本を選び、外れくじから1本を選ぶ組み合わせを考える。当たりくじの選び方は$_{3}C_2$通り、外れくじの選び方は$_{7}C_1$通りなので、

$_{3}C_2 \times _{7}C_1 = \frac{3!}{2!1!} \times \frac{7!}{1!6!} = 3 \times 7 = 21$

次に、当たりくじが3本の場合の数を計算する。当たりくじから3本全てを選ぶ組み合わせなので、$_{3}C_3 = 1$

当たりくじが2本以上の場合の数は、当たりくじが2本の場合の数と、当たりくじが3本の場合の数の和である。

$21 + 1 = 22$

求める確率は、当たりくじが2本以上の場合の数を、くじの引き方の総数で割ったものになる。

$\frac{22}{120} = \frac{11}{60}$

3. 最終的な答え

10本のくじから3本を引く方法は全部で 120通り。

2本の当たりくじを引く場合の数は 21通り。

3本の当たりくじを引く場合の数は 1通り。

よって、求める確率は 11/60。